Номер 33.13, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (33.13-33.14):

33.13.

1) $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10;$

2) $(x - 2)^3 + 20(2x - 1)^3 + x(x - 5);$

3) $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2);$

4) $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2.$

1) Для упрощения выражения $(x^2 + 1)^3 - 3(x^2 - 1)^2 - 5x(x - 2) + 10$ раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов.

Первый член раскроем по формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x^2 + 1)^3 = (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 1 + 3 \cdot x^2 \cdot 1^2 + 1^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$.

Второй член раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$-3(x^2 - 1)^2 = -3((x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2) = -3(x^4 - 2x^2 + 1) = -3x^4 + 6x^2 - 3$.

Третий член раскроем путем умножения:

$-5x(x - 2) = -5x \cdot x - 5x \cdot (-2) = -5x^2 + 10x$.

Теперь сложим все полученные выражения и константу $+10$:

$(x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) + (-3x^4 + 6x^2 - 3) + (-5x^2 + 10x) + 10$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^6 + (3x^4 - 3x^4) + (3x^2 + 6x^2 - 5x^2) + 10x + (1 - 3 + 10) = x^6 + 0 + 4x^2 + 10x + 8$.

Ответ: $x^6 + 4x^2 + 10x + 8$.

2) Для упрощения выражения $(x - 2)^3 + 20(2x - 1) + x(x - 5)$ раскроем все скобки.

Первый член раскроем по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Второй и третий члены раскроем путем умножения:

$20(2x - 1) = 40x - 20$

$x(x - 5) = x^2 - 5x$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + (40x - 20) + (x^2 - 5x)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-6x^2 + x^2) + (12x + 40x - 5x) + (-8 - 20) = x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.

Ответ: $x^3 - 5x^2 + 47x - 28$.

3) Для упрощения выражения $(1 - 3y)^3 - 3(y + 3)^3 + 10y(y^2 - 2)$ раскроем скобки.

Раскрываем кубы по формулам $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ и $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(1 - 3y)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (3y) + 3 \cdot 1 \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = 1 - 9y + 27y^2 - 27y^3$.

$-3(y + 3)^3 = -3(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 3 + 3 \cdot y \cdot 3^2 + 3^3) = -3(y^3 + 9y^2 + 27y + 27) = -3y^3 - 27y^2 - 81y - 81$.

Раскроем последнее слагаемое:

$10y(y^2 - 2) = 10y^3 - 20y$.

Теперь сложим все части:

$(1 - 9y + 27y^2 - 27y^3) + (-3y^3 - 27y^2 - 81y - 81) + (10y^3 - 20y)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(-27y^3 - 3y^3 + 10y^3) + (27y^2 - 27y^2) + (-9y - 81y - 20y) + (1 - 81) = -20y^3 + 0y^2 - 110y - 80$.

Ответ: $-20y^3 - 110y - 80$.

4) Для упрощения выражения $(y^3 + 2)^3 - y^6(y^3 - 6) + 2(y - 2)^2$ раскроем все скобки.

Первый член раскроем по формуле куба суммы:

$(y^3 + 2)^3 = (y^3)^3 + 3 \cdot (y^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot y^3 \cdot 2^2 + 2^3 = y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8$.

Второй член:

$-y^6(y^3 - 6) = -y^9 + 6y^6$.

Третий член раскроем по формуле квадрата разности:

$2(y - 2)^2 = 2(y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) = 2(y^2 - 4y + 4) = 2y^2 - 8y + 8$.

Сложим все полученные выражения:

$(y^9 + 6y^6 + 12y^3 + 8) + (-y^9 + 6y^6) + (2y^2 - 8y + 8)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(y^9 - y^9) + (6y^6 + 6y^6) + 12y^3 + 2y^2 - 8y + (8 + 8) = 0 + 12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.

Ответ: $12y^6 + 12y^3 + 2y^2 - 8y + 16$.