Номер 33.16, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (33.15-33.16):

33.16.

1) $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116;$

2) $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23;$

3) $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77;$

4) $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21.$

1) Для решения уравнения $(6 - x)^3 - x^2(16 - x) = 2x^2 + 116$ сначала раскроем скобки в левой части.

Используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для выражения $(6 - x)^3$:

$(6 - x)^3 = 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot x + 3 \cdot 6 \cdot x^2 - x^3 = 216 - 108x + 18x^2 - x^3$.

Теперь раскроем вторую скобку: $-x^2(16 - x) = -16x^2 + x^3$.

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$216 - 108x + 18x^2 - x^3 - 16x^2 + x^3 = 2x^2 + 116$.

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$216 - 108x + (18x^2 - 16x^2) + (-x^3 + x^3) = 2x^2 + 116$,

$216 - 108x + 2x^2 = 2x^2 + 116$.

Теперь перенесем слагаемые с $x^2$ и $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Видим, что $2x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$2x^2 - 2x^2 - 108x = 116 - 216$.

$-108x = -100$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на -108:

$x = \frac{-100}{-108} = \frac{100}{108}$.

Сократим полученную дробь на 4:

$x = \frac{25}{27}$.

Ответ: $\frac{25}{27}$.

2) Решим уравнение $(y + 7)^3 + y(13 - y^2) = 21y^2 + 23$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(y + 7)^3 = y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3 = y^3 + 21y^2 + 147y + 343$.

Раскроем вторую скобку: $y(13 - y^2) = 13y - y^3$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 + 13y - y^3 = 21y^2 + 23$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(y^3 - y^3) + 21y^2 + (147y + 13y) + 343 = 21y^2 + 23$,

$21y^2 + 160y + 343 = 21y^2 + 23$.

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а числа в другую. Слагаемые $21y^2$ взаимно уничтожаются.

$160y = 23 - 343$.

$160y = -320$.

Найдем $y$:

$y = \frac{-320}{160} = -2$.

Ответ: -2.

3) Решим уравнение $(4 - 3z)^3 + z(14 + 27z^2) = 108z^2 + 77$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(4 - 3z)^3 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot (3z) + 3 \cdot 4 \cdot (3z)^2 - (3z)^3 = 64 - 144z + 108z^2 - 27z^3$.

Раскроем вторую скобку: $z(14 + 27z^2) = 14z + 27z^3$.

Подставим в исходное уравнение:

$64 - 144z + 108z^2 - 27z^3 + 14z + 27z^3 = 108z^2 + 77$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$64 + (-144z + 14z) + 108z^2 + (-27z^3 + 27z^3) = 108z^2 + 77$,

$64 - 130z + 108z^2 = 108z^2 + 77$.

Перенесем члены уравнения. Слагаемые $108z^2$ взаимно уничтожаются.

$-130z = 77 - 64$.

$-130z = 13$.

Найдем $z$:

$z = \frac{13}{-130} = -\frac{1}{10} = -0,1$.

Ответ: -0,1.

4) Решим уравнение $(5x + 2)^3 - 25x(5x^2 - 4) = 150x^2 + 21$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(5x + 2)^3 = (5x)^3 + 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (5x) \cdot 2^2 + 2^3 = 125x^3 + 150x^2 + 60x + 8$.

Раскроем вторую скобку: $-25x(5x^2 - 4) = -125x^3 + 100x$.

Подставим в исходное уравнение:

$125x^3 + 150x^2 + 60x + 8 - 125x^3 + 100x = 150x^2 + 21$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(125x^3 - 125x^3) + 150x^2 + (60x + 100x) + 8 = 150x^2 + 21$,

$150x^2 + 160x + 8 = 150x^2 + 21$.

Перенесем члены уравнения. Слагаемые $150x^2$ взаимно уничтожаются.

$160x = 21 - 8$.

$160x = 13$.

Найдем $x$:

$x = \frac{13}{160}$.

Ответ: $\frac{13}{160}$.