Вопрос критерии успеха, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как можно найти сумму и разность кубов двух выражений рациональным способом?

Для нахождения суммы и разности кубов двух выражений рациональным способом используются формулы сокращенного умножения. Эти формулы позволяют разложить выражения на множители, что упрощает дальнейшие вычисления и преобразования.

Сумма кубов

Сумма кубов двух выражений (обозначим их как a и b) раскладывается на множители по следующей формуле:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Это тождество означает, что сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. "Неполный квадрат" означает, что в средней части отсутствует коэффициент 2 (сравните с полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$).

Пример:

Найдем сумму кубов $27x^3$ и $8y^3$.

Сначала представим каждое слагаемое в виде куба:

$27x^3 = (3x)^3$

$8y^3 = (2y)^3$

Теперь применим формулу, где $a = 3x$ и $b = 2y$:

$(3x)^3 + (2y)^3 = (3x + 2y)((3x)^2 - (3x)(2y) + (2y)^2) = (3x + 2y)(9x^2 - 6xy + 4y^2)$

Ответ: Сумма кубов двух выражений $a$ и $b$ находится по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Разность кубов

Разность кубов двух выражений раскладывается на множители по следующей формуле:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Это тождество означает, что разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Опять же, "неполный квадрат" указывает на отсутствие коэффициента 2 в среднем члене (сравните с $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$).

Пример:

Найдем разность кубов $125$ и $m^6$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$125 = 5^3$

$m^6 = (m^2)^3$

Применим формулу, где $a = 5$ и $b = m^2$:

$5^3 - (m^2)^3 = (5 - m^2)(5^2 + 5m^2 + (m^2)^2) = (5 - m^2)(25 + 5m^2 + m^4)$

Ответ: Разность кубов двух выражений $a$ и $b$ находится по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.