Номер 34.4, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.4. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$;

2) $(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4)$;

3) $(k - 5)(k^2 + 5k + 25)$;

4) $(3 + m)(9 - 3m + m^2)$;

5) $(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6)$;

6) $(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4)$;

7) $(25 - 5y^2 + y^4)(5 + y^2)$;

8) $(64 + 8z^3 + z^6)(8 - z^3)$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения, а именно формула суммы кубов и формула разности кубов:

Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a$ в формуле равно $a$ из выражения, а $b$ в формуле равно $2$.

Проверим: $(a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $a$ и $2$.

$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.

Ответ: $a^3 + 8$.

2) $(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a$ в формуле равно $1$, а $b$ в формуле равно $x^2$.

Проверим: $(1 - x^2)(1^2 + 1 \cdot x^2 + (x^2)^2) = (1 - x^2)(1 + x^2 + x^4)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $1$ и $x^2$.

$(1 - x^2)(1 + x^2 + x^4) = 1^3 - (x^2)^3 = 1 - x^6$.

Ответ: $1 - x^6$.

3) $(k - 5)(k^2 + 5k + 25)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a = k$, $b = 5$.

Проверим: $(k - 5)(k^2 + k \cdot 5 + 5^2) = (k - 5)(k^2 + 5k + 25)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $k$ и $5$.

$(k - 5)(k^2 + 5k + 25) = k^3 - 5^3 = k^3 - 125$.

Ответ: $k^3 - 125$.

4) $(3 + m)(9 - 3m + m^2)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = 3$, $b = m$.

Проверим: $(3 + m)(3^2 - 3 \cdot m + m^2) = (3 + m)(9 - 3m + m^2)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $3$ и $m$.

$(3 + m)(9 - 3m + m^2) = 3^3 + m^3 = 27 + m^3$.

Ответ: $27 + m^3$.

5) $(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a$ в формуле равно $1$, а $b$ в формуле равно $a^3$.

Проверим: $(1 + a^3)(1^2 - 1 \cdot a^3 + (a^3)^2) = (1 + a^3)(1 - a^3 + a^6)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $1$ и $a^3$.

$(1 + a^3)(1 - a^3 + a^6) = 1^3 + (a^3)^3 = 1 + a^9$.

Ответ: $1 + a^9$.

6) $(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a = 4$, $b = n^2$.

Проверим: $(4 - n^2)(4^2 + 4 \cdot n^2 + (n^2)^2) = (4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $4$ и $n^2$.

$(4 - n^2)(16 + 4n^2 + n^4) = 4^3 - (n^2)^3 = 64 - n^6$.

Ответ: $64 - n^6$.

7) $(25 - 5y^2 + y^4)(5 + y^2)$

Поменяем множители местами: $(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов, где $a = 5$, $b = y^2$.

Проверим: $(5 + y^2)(5^2 - 5 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4)$.

Следовательно, произведение равно сумме кубов $5$ и $y^2$.

$(5 + y^2)(25 - 5y^2 + y^4) = 5^3 + (y^2)^3 = 125 + y^6$.

Ответ: $125 + y^6$.

8) $(64 + 8z^3 + z^6)(8 - z^3)$

Поменяем множители местами: $(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов, где $a = 8$, $b = z^3$.

Проверим: $(8 - z^3)(8^2 + 8 \cdot z^3 + (z^3)^2) = (8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $8$ и $z^3$.

$(8 - z^3)(64 + 8z^3 + z^6) = 8^3 - (z^3)^3 = 512 - z^9$.

Ответ: $512 - z^9$.