Номер 34.8, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.8. Решите неравенство:

1) $(1-4x)(1+4x+16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3;$

2) $99x^3- (1 + 5x)(1-5x+25x^2) \ge 12x - 26x^3.$

1) Исходное неравенство: $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$.

Выражение $(1 - 4x)(1 + 4x + 16x^2)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a=1$ и $b=4x$.

Получаем: $(1 - 4x)(1 + 1 \cdot 4x + (4x)^2) = 1^3 - (4x)^3 = 1 - 64x^3$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(1 - 64x^3) - 6x^3 \le 10x - 70x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$1 - 70x^3 \le 10x - 70x^3$

Прибавим $70x^3$ к обеим частям неравенства. Это не изменит знак неравенства.

$1 - 70x^3 + 70x^3 \le 10x - 70x^3 + 70x^3$

$1 \le 10x$

Разделим обе части неравенства на 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$\frac{1}{10} \le x$

Это эквивалентно $x \ge \frac{1}{10}$.

Ответ: $[\frac{1}{10}; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $99x^3 - (1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2) \ge 12x - 26x^3$.

Выражение $(1 + 5x)(1 - 5x + 25x^2)$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a=1$ и $b=5x$.

Получаем: $(1 + 5x)(1^2 - 1 \cdot 5x + (5x)^2) = 1^3 + (5x)^3 = 1 + 125x^3$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$99x^3 - (1 + 125x^3) \ge 12x - 26x^3$

Раскроем скобки в левой части:

$99x^3 - 1 - 125x^3 \ge 12x - 26x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-26x^3 - 1 \ge 12x - 26x^3$

Прибавим $26x^3$ к обеим частям неравенства. Это не изменит знак неравенства.

$-26x^3 - 1 + 26x^3 \ge 12x - 26x^3 + 26x^3$

$-1 \ge 12x$

Разделим обе части неравенства на 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$-\frac{1}{12} \ge x$

Это эквивалентно $x \le -\frac{1}{12}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{12}]$.