Номер 34.13, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (34.13-34.14):

34.13.

1) $2a^3 + 2(a - 1)(a^2 + a + 1);$

2) $x(x + 2)(x - 2) - (x - 3)(x^2 + 3x + 9);$

3) $3(b - 1)^2 + (b + 2)(b^2 - 2b + 4) - (b + 1)^3;$

4) $(a - 1)^3 - 4a(a + 1)(a - 1) + 3(a - 1)(a^2 + a + 1).$

1) Для упрощения выражения $2a^3 + 9 - 2(a + 1)(a^2 - a + 1)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В нашем случае, для множителей $(a + 1)(a^2 - a + 1)$, где $x=a$ и $y=1$, получаем: $(a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = a^3 + 1^3 = a^3 + 1$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $2a^3 + 9 - 2(a^3 + 1)$

Раскроем скобки, умножив $-2$ на каждый член в скобках: $2a^3 + 9 - 2a^3 - 2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(2a^3 - 2a^3) + (9 - 2) = 0 + 7 = 7$.

Ответ: 7

2) Рассмотрим выражение $x(x + 2)(x - 2) - (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ и упростим его по частям.

Первая часть: $x(x + 2)(x - 2)$. Здесь $(x+2)(x-2)$ является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$: $x(x^2 - 2^2) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$.

Вторая часть: $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$: $(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

Теперь вычтем вторую часть из первой: $(x^3 - 4x) - (x^3 - 27) = x^3 - 4x - x^3 + 27$

Приведем подобные слагаемые: $(x^3 - x^3) - 4x + 27 = -4x + 27$.

Ответ: $27 - 4x$

3) Упростим выражение $3(b - 1)^2 + (b + 2)(b^2 - 2b + 4) - (b + 1)^3$, разбив его на три слагаемых.

1. Квадрат разности: $3(b - 1)^2 = 3(b^2 - 2b + 1) = 3b^2 - 6b + 3$.

2. Сумма кубов: $(b + 2)(b^2 - 2b + 4) = (b+2)(b^2 - b\cdot2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

3. Куб суммы: $(b + 1)^3 = b^3 + 3b^2(1) + 3b(1)^2 + 1^3 = b^3 + 3b^2 + 3b + 1$.

Теперь соберем все части вместе, учитывая знаки: $(3b^2 - 6b + 3) + (b^3 + 8) - (b^3 + 3b^2 + 3b + 1)$

Раскроем скобки: $3b^2 - 6b + 3 + b^3 + 8 - b^3 - 3b^2 - 3b - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(b^3 - b^3) + (3b^2 - 3b^2) + (-6b - 3b) + (3 + 8 - 1) = 0 + 0 - 9b + 10 = 10 - 9b$.

Ответ: $10 - 9b$

4) Упростим выражение $(a - 1)^3 - 4a(a + 1)(a - 1) + 3(a - 1)(a^2 + a + 1)$ по частям.

1. Куб разности: $(a - 1)^3 = a^3 - 3a^2(1) + 3a(1)^2 - 1^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1$.

2. Разность квадратов: $-4a(a + 1)(a - 1) = -4a(a^2 - 1^2) = -4a(a^2 - 1) = -4a^3 + 4a$.

3. Разность кубов: $3(a - 1)(a^2 + a + 1) = 3(a^3 - 1^3) = 3(a^3 - 1) = 3a^3 - 3$.

Сложим полученные выражения: $(a^3 - 3a^2 + 3a - 1) + (-4a^3 + 4a) + (3a^3 - 3)$

Раскроем скобки и запишем в одну строку: $a^3 - 3a^2 + 3a - 1 - 4a^3 + 4a + 3a^3 - 3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням $a$:

Для $a^3$: $a^3 - 4a^3 + 3a^3 = 0$

Для $a^2$: $-3a^2$

Для $a$: $3a + 4a = 7a$

Свободные члены: $-1 - 3 = -4$

Собрав все вместе, получаем: $-3a^2 + 7a - 4$.

Ответ: $-3a^2 + 7a - 4$