Номер 34.18, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (34.17-34.18):

34.18.

1) $(a^2 - 3)^3 - (a^2 - 4)(a^2 + 4) - a^2(a^4 - 10a^2 + 27) + 27 = 16;$

2) $(b^2 + 3)^3 - (b^2 + 3)(b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2(b^2 + 3) = 0;$

3) $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) - (m^2 - 1)^3 + 3(m^2 - 1) = 3m^4 - 3.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно раскрывая скобки и упрощая выражение.

1. Раскроем куб разности $(a^2 - 3)^3$ по формуле $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(a^2 - 3)^3 = (a^2)^3 - 3 \cdot (a^2)^2 \cdot 3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3^2 - 3^3 = a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27$.

2. Раскроем произведение $(a^2 - 4)(a^2 + 4)$ по формуле разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$.

3. Раскроем скобки в выражении $-a^2(a^4 - 10a^2 + 27)$:

$-a^2(a^4 - 10a^2 + 27) = -a^6 + 10a^4 - 27a^2$.

Теперь подставим все полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$(a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27) - (a^4 - 16) - a^6 + 10a^4 - 27a^2 + 27$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^6 - 9a^4 + 27a^2 - 27 - a^4 + 16 - a^6 + 10a^4 - 27a^2 + 27$

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $a$:

$(a^6 - a^6) + (-9a^4 - a^4 + 10a^4) + (27a^2 - 27a^2) + (-27 + 16 + 27) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.

Левая часть тождества равна $16$, что совпадает с правой частью.

Ответ: $16=16$, тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что все три слагаемых содержат общий множитель $(b^2 + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(b^2 + 3)^3 - (b^2 + 3)(b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2(b^2 + 3) = (b^2 + 3) \cdot [(b^2 + 3)^2 - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2]$.

Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Сначала раскроем $(b^2 + 3)^2$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(b^2 + 3)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 3 + 3^2 = b^4 + 6b^2 + 9$.

Подставим результат в квадратные скобки и раскроем внутренние скобки:

$(b^4 + 6b^2 + 9) - (b^4 - 3b^2 + 9) - 9b^2 = b^4 + 6b^2 + 9 - b^4 + 3b^2 - 9 - 9b^2$.

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(b^4 - b^4) + (6b^2 + 3b^2 - 9b^2) + (9 - 9) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю, то и всё произведение равно нулю:

$(b^2 + 3) \cdot 0 = 0$.

Левая часть тождества равна $0$, что совпадает с правой частью.

Ответ: $0=0$, тождество доказано.

3) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

1. Выражение $(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1)$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$, где $x=m^2$ и $y=1$.

$(m^2 - 1)(m^4 + m^2 + 1) = (m^2)^3 - 1^3 = m^6 - 1$.

2. Раскроем куб разности $(m^2 - 1)^3$ по формуле $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$:

$(m^2 - 1)^3 = (m^2)^3 - 3 \cdot (m^2)^2 \cdot 1 + 3 \cdot m^2 \cdot 1^2 - 1^3 = m^6 - 3m^4 + 3m^2 - 1$.

3. Раскроем скобки в последнем слагаемом: $3(m^2 - 1) = 3m^2 - 3$.

Теперь подставим все преобразованные части в левую часть исходного уравнения:

$(m^6 - 1) - (m^6 - 3m^4 + 3m^2 - 1) + (3m^2 - 3)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^6 - 1 - m^6 + 3m^4 - 3m^2 + 1 + 3m^2 - 3$.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $m$:

$(m^6 - m^6) + 3m^4 + (-3m^2 + 3m^2) + (-1 + 1 - 3) = 0 + 3m^4 + 0 - 3 = 3m^4 - 3$.

Левая часть тождества равна $3m^4 - 3$, что совпадает с правой частью.

Ответ: $3m^4 - 3 = 3m^4 - 3$, тождество доказано.