Вопрос критерии успеха, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как использовать формулы сокращенного умножения для рационального вычисления?

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) — это мощный инструмент для рационализации, то есть упрощения, арифметических вычислений. Идея состоит в том, чтобы представить числа в выражении как сумму или разность более удобных, часто "круглых" чисел, и затем применить одну из формул, чтобы свести сложные умножения или возведения в степень к более простым действиям.

Рассмотрим основные формулы и примеры их применения.

Квадрат суммы и квадрат разности

Формулы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Они позволяют легко возводить в квадрат числа, близкие к круглым.

Пример 1: Вычислить $102^2$.

Представим 102 как сумму $(100 + 2)$ и применим формулу квадрата суммы:

$102^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$.

Ответ: 10404

Пример 2: Вычислить $99^2$.

Представим 99 как разность $(100 - 1)$ и применим формулу квадрата разности:

$99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.

Ответ: 9801

Разность квадратов

Формула: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Особенно полезна ее обратная запись: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Она удобна для умножения двух чисел, равноудаленных от круглого числа, а также для сокращения дробей.

Пример 1: Вычислить $53 \cdot 47$.

Представим 53 как $(50+3)$ и 47 как $(50-3)$. Тогда произведение принимает вид:

$53 \cdot 47 = (50+3)(50-3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Ответ: 2491

Пример 2: Вычислить $\frac{86^2 - 14^2}{72}$.

Применим формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{86^2 - 14^2}{72} = \frac{(86-14)(86+14)}{72} = \frac{72 \cdot 100}{72} = 100$.

Ответ: 100

Куб суммы и куб разности

Формулы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Используются реже, но также могут упростить вычисления.

Пример: Вычислить $101^3$.

Представим 101 как $(100+1)$ и применим формулу куба суммы:

$101^3 = (100+1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3$

$= 1000000 + 3 \cdot 10000 + 300 + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301$.

Ответ: 1030301

Сумма и разность кубов

Формулы: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Чаще всего эти формулы применяются для упрощения и сокращения дробей.

Пример 1: Упростить и вычислить $\frac{38^3 + 37^3}{75} + 38 \cdot 37$.

Раскроем сумму кубов в числителе дроби:

$\frac{(38+37)(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)}{75} + 38 \cdot 37$

Так как $38+37=75$, можем сократить дробь:

$(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2) + 38 \cdot 37 = 38^2 + 37^2$.

Далее вычисляем: $38^2 = 1444$, $37^2 = 1369$.

$1444 + 1369 = 2813$.

Ответ: 2813

Пример 2: Вычислить $\frac{111^3 - 11^3}{100 \cdot (111^2 + 111 \cdot 11 + 11^2)}$.

Раскроем разность кубов в числителе:

$\frac{(111-11)(111^2 + 111 \cdot 11 + 11^2)}{100 \cdot (111^2 + 111 \cdot 11 + 11^2)}$

Видно, что большие скобки в числителе и знаменателе одинаковы, их можно сократить. Также вычислим первую скобку в числителе: $111 - 11 = 100$.

$\frac{100 \cdot (111^2 + 111 \cdot 11 + 11^2)}{100 \cdot (111^2 + 111 \cdot 11 + 11^2)} = 1$.

Ответ: 1