Номер 35.4, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.1-35.4):

35.4.

1) $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10}(1 - a^2);$

2) $k^5(k + 1)-(3+k^2)(k^4 - 3k^2 + 9);$

3) $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1);$

4) $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8).$

1) $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4) + a^{10}(1 - a^2)$

Для упрощения первого произведения $(2 + a^4)(a^8 - 2a^4 + 4)$ воспользуемся формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$. В данном случае $x = a^4$ и $y = 2$.

Применяя формулу, получаем: $(a^4+2)((a^4)^2 - 2 \cdot a^4 + 2^2) = (a^4)^3 + 2^3 = a^{12} + 8$.

Далее раскроем скобки во второй части выражения: $a^{10}(1 - a^2) = a^{10} \cdot 1 - a^{10} \cdot a^2 = a^{10} - a^{12}$.

Теперь сложим полученные результаты: $(a^{12} + 8) + (a^{10} - a^{12}) = a^{12} + 8 + a^{10} - a^{12} = a^{10} + 8$.

Ответ: $a^{10} + 8$.

2) $k^5(k + 1) - (3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$

Сначала раскроем скобки в первом слагаемом: $k^5(k + 1) = k^6 + k^5$.

Второе произведение $(3 + k^2)(k^4 - 3k^2 + 9)$ является формулой суммы кубов $(y+x)(y^2-yx+x^2) = y^3+x^3$, где $x=k^2$ и $y=3$.

Применяя формулу, получаем: $(k^2+3)((k^2)^2 - 3 \cdot k^2 + 3^2) = (k^2)^3 + 3^3 = k^6 + 27$.

Теперь объединим обе части: $(k^6 + k^5) - (k^6 + 27) = k^6 + k^5 - k^6 - 27 = k^5 - 27$.

Ответ: $k^5 - 27$.

3) $(25 - 5y^4 + y^8)(5 + y^4) - y^6(y^6 - 1)$

Перегруппируем множители в первой части, чтобы увидеть формулу: $(y^4 + 5)(y^8 - 5y^4 + 25)$. Это формула суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$, где $x=y^4$ и $y=5$.

Применив формулу, получим: $(y^4)^3 + 5^3 = y^{12} + 125$.

Раскроем скобки во второй части выражения: $-y^6(y^6 - 1) = -y^6 \cdot y^6 - y^6 \cdot (-1) = -y^{12} + y^6$.

Сложим полученные результаты: $(y^{12} + 125) + (-y^{12} + y^6) = y^{12} + 125 - y^{12} + y^6 = y^6 + 125$.

Ответ: $y^6 + 125$.

4) $(z^6 + 7z^3 + 49)(z^3 - 7) + z(1 - z^8)$

Перегруппируем множители в первой части: $(z^3 - 7)(z^6 + 7z^3 + 49)$. Это формула разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$, где $x=z^3$ и $y=7$.

Применив формулу, получим: $(z^3)^3 - 7^3 = z^9 - 343$.

Раскроем скобки во второй части: $z(1 - z^8) = z \cdot 1 - z \cdot z^8 = z - z^9$.

Сложим полученные результаты: $(z^9 - 343) + (z - z^9) = z^9 - 343 + z - z^9 = z - 343$.

Ответ: $z - 343$.