Номер 35.6, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (35.5-35.6):

35.6.

1) $7x - (x - 2)^3 = 13 - x^2(x - 6)$

2) $10 + (3 - x)^3 = x^2(9 - x) - 17$

3) $-16 + (4 + x)^3 = x^2(x + 12)$

4) $11 - x^2(x + 9) = 8x - (x + 3)^3$

1) $7x - (x - 2)^3 = 13 - x^2(x - 6)$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих частях. Сначала воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и распределительным свойством умножения.

$(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

$x^2(x - 6) = x^3 - 6x^2$.

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное уравнение:

$7x - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = 13 - (x^3 - 6x^2)$.

Раскроем скобки, меняя знаки, где это необходимо:

$7x - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 13 - x^3 + 6x^2$.

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-5x - x^3 + 6x^2 + 8 = 13 - x^3 + 6x^2$.

Заметим, что слагаемые $-x^3$ и $6x^2$ присутствуют в обеих частях уравнения, поэтому их можно сократить.

$-5x + 8 = 13$.

Перенесем 8 в правую часть:

$-5x = 13 - 8$.

$-5x = 5$.

Разделим обе части на -5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{5}{-5} = -1$.

Ответ: $-1$.

2) $10 + (3 - x)^3 = x^2(9 - x) - 17$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности и распределительное свойство.

$(3 - x)^3 = 3^3 - 3 \cdot 3^2 \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^2 - x^3 = 27 - 27x + 9x^2 - x^3$.

$x^2(9 - x) = 9x^2 - x^3$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$10 + (27 - 27x + 9x^2 - x^3) = (9x^2 - x^3) - 17$.

Упростим, раскрыв скобки:

$10 + 27 - 27x + 9x^2 - x^3 = 9x^2 - x^3 - 17$.

$37 - 27x + 9x^2 - x^3 = 9x^2 - x^3 - 17$.

Слагаемые $9x^2$ и $-x^3$ есть в обеих частях, поэтому они взаимно уничтожаются.

$37 - 27x = -17$.

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$37 + 17 = 27x$.

$54 = 27x$.

$x = \frac{54}{27} = 2$.

Ответ: $2$.

3) $-16 + (4 + x)^3 = x^2(x + 12)$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и распределительное свойство.

$(4 + x)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3 = 64 + 48x + 12x^2 + x^3$.

$x^2(x + 12) = x^3 + 12x^2$.

Подставим в исходное уравнение:

$-16 + (64 + 48x + 12x^2 + x^3) = x^3 + 12x^2$.

Упростим левую часть:

$48 + 48x + 12x^2 + x^3 = x^3 + 12x^2$.

Слагаемые $x^3$ и $12x^2$ взаимно уничтожаются, так как они есть в обеих частях уравнения.

$48 + 48x = 0$.

$48x = -48$.

$x = \frac{-48}{48} = -1$.

Ответ: $-1$.

4) $11 - x^2(x + 9) = 8x - (x + 3)^3$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$x^2(x + 9) = x^3 + 9x^2$.

$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Подставим в исходное уравнение:

$11 - (x^3 + 9x^2) = 8x - (x^3 + 9x^2 + 27x + 27)$.

Раскроем скобки:

$11 - x^3 - 9x^2 = 8x - x^3 - 9x^2 - 27x - 27$.

Упростим правую часть:

$11 - x^3 - 9x^2 = -19x - x^3 - 9x^2 - 27$.

Слагаемые $-x^3$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются.

$11 = -19x - 27$.

Перенесем члены с $x$ влево, а числа вправо:

$19x = -27 - 11$.

$19x = -38$.

$x = \frac{-38}{19} = -2$.

Ответ: $-2$.