Номер 35.5, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (35.5-35.6):

35.5.

1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2;$

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x);$

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2;$

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2.$

1) $35 + (5x - 1)(5x + 1) = (5x + 2)^2$

Для решения уравнения используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения: $(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$.

Раскроем скобки в правой части уравнения: $(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$.

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$35 + 25x^2 - 1 = 25x^2 + 20x + 4$.

Упростим левую часть:

$34 + 25x^2 = 25x^2 + 20x + 4$.

Сократим $25x^2$ в обеих частях уравнения:

$34 = 20x + 4$.

Перенесем 4 в левую часть, изменив знак:

$34 - 4 = 20x$.

$30 = 20x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: $1.5$.

2) $3 + (2x + 3)^2 = 4(x - 6)(6 + x)$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Обратим внимание, что $(x-6)(6+x)$ можно записать как $(x-6)(x+6)$.

Раскроем квадрат суммы: $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Раскроем произведение в правой части: $4(x - 6)(x + 6) = 4(x^2 - 6^2) = 4(x^2 - 36) = 4x^2 - 144$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$3 + 4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 - 144$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 + 12x + 12 = 4x^2 - 144$.

Сократим $4x^2$ в обеих частях:

$12x + 12 = -144$.

Перенесем 12 в правую часть:

$12x = -144 - 12$.

$12x = -156$.

Найдем $x$:

$x = \frac{-156}{12} = -13$.

Ответ: $-13$.

3) $6 - x + (2x - 1)^2 = 4(x + 3)^2$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Раскроем квадрат разности: $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Раскроем выражение в правой части: $4(x + 3)^2 = 4(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) = 4(x^2 + 6x + 9) = 4x^2 + 24x + 36$.

Подставим в исходное уравнение:

$6 - x + 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 + 24x + 36$.

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 - 5x + 7 = 4x^2 + 24x + 36$.

Сократим $4x^2$ в обеих частях:

$-5x + 7 = 24x + 36$.

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$7 - 36 = 24x + 5x$.

$-29 = 29x$.

Найдем $x$:

$x = \frac{-29}{29} = -1$.

Ответ: $-1$.

4) $39x + (4x + 3)^2 = 2 + 4(2x + 1)^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Раскроем скобки в левой части: $(4x + 3)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 + 24x + 9$.

Раскроем скобки в правой части: $4(2x + 1)^2 = 4((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 4(4x^2 + 4x + 1) = 16x^2 + 16x + 4$.

Подставим в уравнение:

$39x + 16x^2 + 24x + 9 = 2 + 16x^2 + 16x + 4$.

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$16x^2 + 63x + 9 = 16x^2 + 16x + 6$.

Сократим $16x^2$ в обеих частях:

$63x + 9 = 16x + 6$.

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$63x - 16x = 6 - 9$.

$47x = -3$.

Найдем $x$:

$x = -\frac{3}{47}$.

Ответ: $-\frac{3}{47}$.