Номер 35.11, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.11–35.13):

35.11.

1) $(x + 8)^2 - x^2 < 11x;$

2) $x^2 - (9 - x)^2 > -2x;$

3) $(12 + x)^2 \ge x^2 + 21x;$

4) $x^2 < (25 - x)^2 + 25x.$

1)Исходное неравенство: $ (x + 8)^2 - x^2 < 11x $.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $:

$ x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - x^2 < 11x $

$ x^2 + 16x + 64 - x^2 < 11x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 16x + 64 < 11x $

Перенесем слагаемые с переменной $ x $ в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$ 16x - 11x < -64 $

$ 5x < -64 $

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$ x < -\frac{64}{5} $

$ x < -12.8 $

Решением является числовой промежуток $ (-\infty; -12.8) $.

Ответ: $ (-\infty; -12.8) $.

2)Исходное неравенство: $ x^2 - (9 - x)^2 > -2x $.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:

$ x^2 - (9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + x^2) > -2x $

$ x^2 - (81 - 18x + x^2) > -2x $

Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$ x^2 - 81 + 18x - x^2 > -2x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 18x - 81 > -2x $

Перенесем слагаемые с переменной $ x $ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 18x + 2x > 81 $

$ 20x > 81 $

Разделим обе части неравенства на 20:

$ x > \frac{81}{20} $

$ x > 4.05 $

Решением является числовой промежуток $ (4.05; +\infty) $.

Ответ: $ (4.05; +\infty) $.

3)Исходное неравенство: $ (12 + x)^2 \ge x^2 + 21x $.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы:

$ 12^2 + 2 \cdot 12 \cdot x + x^2 \ge x^2 + 21x $

$ 144 + 24x + x^2 \ge x^2 + 21x $

Вычтем $ x^2 $ из обеих частей неравенства:

$ 144 + 24x \ge 21x $

Перенесем слагаемые с переменной $ x $ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 24x - 21x \ge -144 $

$ 3x \ge -144 $

Разделим обе части неравенства на 3:

$ x \ge -\frac{144}{3} $

$ x \ge -48 $

Решением является числовой промежуток $ [-48; +\infty) $.

Ответ: $ [-48; +\infty) $.

4)Исходное неравенство: $ x^2 < (25 - x)^2 + 25x $.

Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности:

$ x^2 < (25^2 - 2 \cdot 25 \cdot x + x^2) + 25x $

$ x^2 < (625 - 50x + x^2) + 25x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ x^2 < 625 - 50x + 25x + x^2 $

$ x^2 < 625 - 25x + x^2 $

Вычтем $ x^2 $ из обеих частей неравенства:

$ 0 < 625 - 25x $

Перенесем слагаемое с переменной $ x $ в левую часть:

$ 25x < 625 $

Разделим обе части неравенства на 25:

$ x < \frac{625}{25} $

$ x < 25 $

Решением является числовой промежуток $ (-\infty; 25) $.

Ответ: $ (-\infty; 25) $.