Номер 35.15, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.14-35.15):

35.15.

1) $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2;$

2) $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4;$

3) $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8;$

4) $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6.$

1) Для доказательства тождества $(5z^2 - 6k)^2 - (5z^2 + 3k)^2 + 90z^2k = 27k^2$ преобразуем его левую часть. Используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем скобки:

$(5z^2 - 6k)^2 = (5z^2)^2 - 2 \cdot 5z^2 \cdot 6k + (6k)^2 = 25z^4 - 60z^2k + 36k^2$

$(5z^2 + 3k)^2 = (5z^2)^2 + 2 \cdot 5z^2 \cdot 3k + (3k)^2 = 25z^4 + 30z^2k + 9k^2$

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$(25z^4 - 60z^2k + 36k^2) - (25z^4 + 30z^2k + 9k^2) + 90z^2k =$

$= 25z^4 - 60z^2k + 36k^2 - 25z^4 - 30z^2k - 9k^2 + 90z^2k$

Приведем подобные слагаемые:

$(25z^4 - 25z^4) + (-60z^2k - 30z^2k + 90z^2k) + (36k^2 - 9k^2) = 0 + 0 + 27k^2 = 27k^2$

Левая часть равна правой: $27k^2 = 27k^2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = -n^4$ преобразуем его левую часть. В первом произведении используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем первое произведение:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^4 - n^4$

Подставим это выражение в левую часть и раскроем остальные скобки:

$(m^4 - n^4) - m^2(m^2 - n^2) - m^2n^2 = m^4 - n^4 - m^4 + m^2n^2 - m^2n^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^4 - m^4) + (m^2n^2 - m^2n^2) - n^4 = 0 + 0 - n^4 = -n^4$

Левая часть равна правой: $-n^4 = -n^4$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) + 0,56x^8 + 49y^4 = 2x^8$ преобразуем его левую часть. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем первое произведение:

$(1,2x^4 - 7y^2)(1,2x^4 + 7y^2) = (1,2x^4)^2 - (7y^2)^2 = 1,44x^8 - 49y^4$

Подставим полученное выражение в левую часть:

$1,44x^8 - 49y^4 + 0,56x^8 + 49y^4$

Приведем подобные слагаемые:

$(1,44x^8 + 0,56x^8) + (-49y^4 + 49y^4) = 2x^8 + 0 = 2x^8$

Левая часть равна правой: $2x^8 = 2x^8$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) - 2,96a^6 + 25b^4 = -a^6$ преобразуем его левую часть. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Преобразуем первое произведение:

$(1,4a^3 - 5b^2)(1,4a^3 + 5b^2) = (1,4a^3)^2 - (5b^2)^2 = 1,96a^6 - 25b^4$

Подставим полученное выражение в левую часть:

$1,96a^6 - 25b^4 - 2,96a^6 + 25b^4$

Приведем подобные слагаемые:

$(1,96a^6 - 2,96a^6) + (-25b^4 + 25b^4) = -a^6 + 0 = -a^6$

Левая часть равна правой: $-a^6 = -a^6$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.