Номер 35.22, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.22. Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(3 - x)(9 + 3x + x^2) - 2x + x^3 \le -7x + 7;$

2) $(x - 7)(x^2 + 7x + 49) < -4x + x^3 + 17;$

3) $7x - x^3 > 27x - (x + 8)(x^2 - 8x + 64);$

4) $16x(32x^2 + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x^2 + 8x + 1).$

1) Решим неравенство $(3 - x)(9 + 3x + x²) - 2x + x³ \le -7x + 7$.

Выражение $(3 - x)(9 + 3x + x²)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$, где $a=3$ и $b=x$.

Получаем: $(3 - x)(3² + 3x + x²) = 3³ - x³ = 27 - x³$.

Подставим это в исходное неравенство:

$27 - x³ - 2x + x³ \le -7x + 7$

Слагаемые $-x³$ и $+x³$ в левой части взаимно уничтожаются:

$27 - 2x \le -7x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$7x - 2x \le 7 - 27$

$5x \le -20$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \le -4$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -4]$. Наибольшее целое число из этого промежутка — это -4.

Ответ: -4.

2) Решим неравенство $(x - 7)(x² + 7x + 49) < -4x + x³ + 17$.

Выражение $(x - 7)(x² + 7x + 49)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$, где $a=x$ и $b=7$.

Получаем: $(x - 7)(x² + 7x + 7²) = x³ - 7³ = x³ - 343$.

Подставим это в исходное неравенство:

$x³ - 343 < -4x + x³ + 17$

Слагаемые $x³$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются:

$-343 < -4x + 17$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x < 17 + 343$

$4x < 360$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x < 90$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 90)$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 89.

Ответ: 89.

3) Решим неравенство $7x - x³ > 27x - (x + 8)(x² - 8x + 64)$.

Выражение $(x + 8)(x² - 8x + 64)$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой $a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)$, где $a=x$ и $b=8$.

Получаем: $(x + 8)(x² - 8x + 8²) = x³ + 8³ = x³ + 512$.

Подставим это в исходное неравенство:

$7x - x³ > 27x - (x³ + 512)$

Раскроем скобки в правой части:

$7x - x³ > 27x - x³ - 512$

Слагаемые $-x³$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются:

$7x > 27x - 512$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены оставим в правой:

$7x - 27x > -512$

$-20x > -512$

Разделим обе части неравенства на -20, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-512}{-20}$

$x < \frac{512}{20}$

$x < 25.6$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; 25.6)$. Наибольшее целое число из этого промежутка — это 25.

Ответ: 25.

4) Решим неравенство $16x(32x² + 1) \le -32 + (8x - 1)(64x² + 8x + 1)$.

Рассмотрим выражение $(8x - 1)(64x² + 8x + 1)$. Это разность кубов $a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)$, где $a=8x$ и $b=1$.

Получаем: $(8x - 1)((8x)² + 8x \cdot 1 + 1²) = (8x)³ - 1³ = 512x³ - 1$.

Раскроем скобки в левой части неравенства: $16x(32x² + 1) = 16x \cdot 32x² + 16x \cdot 1 = 512x³ + 16x$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$512x³ + 16x \le -32 + 512x³ - 1$

Упростим правую часть:

$512x³ + 16x \le 512x³ - 33$

Слагаемые $512x³$ в обеих частях неравенства взаимно уничтожаются:

$16x \le -33$

Разделим обе части неравенства на 16:

$x \le -\frac{33}{16}$

Преобразуем дробь в десятичную: $-\frac{33}{16} = -2.0625$.

Таким образом, $x \le -2.0625$.

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -2.0625]$. Наибольшее целое число, которое принадлежит этому промежутку, — это -3.

Ответ: -3.