Номер 35.28, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.28. Докажите, что для того, чтобы возвести целое число с половиной в квадрат, можно целую часть этого числа умножить на число, которое больше его на единицу, и к результату прибавить 0,25.

Пусть $n$ — это целая часть числа, о котором идет речь в задаче. Тогда "целое число с половиной" можно представить в виде алгебраического выражения $n + 0.5$.

Согласно условию, нам нужно возвести это число в квадрат. Запишем это действие: $(n + 0.5)^2$.

Правило, которое нам нужно доказать, утверждает, что этот квадрат можно вычислить, умножив целую часть числа ($n$) на число, которое больше его на единицу ($n + 1$), и к результату прибавив $0.25$. Запишем это правило в виде формулы: $n \cdot (n + 1) + 0.25$.

Таким образом, задача сводится к доказательству тождества: $(n + 0.5)^2 = n(n + 1) + 0.25$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=n$ и $b=0.5$: $(n + 0.5)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 0.5 + (0.5)^2$.

Упростим полученное выражение: $n^2 + (2 \cdot 0.5) \cdot n + 0.25 = n^2 + 1 \cdot n + 0.25 = n^2 + n + 0.25$.

Теперь преобразуем правую часть исходного тождества, раскрыв скобки: $n(n + 1) + 0.25 = n \cdot n + n \cdot 1 + 0.25 = n^2 + n + 0.25$.

В результате преобразований мы получили, что и левая, и правая части доказываемого равенства равны одному и тому же выражению $n^2 + n + 0.25$.

Так как $n^2 + n + 0.25 = n^2 + n + 0.25$, то и исходное равенство $(n + 0.5)^2 = n(n + 1) + 0.25$ является верным для любого целого $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.