Вопрос критерии успеха, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как составить математическую модель по условию задачи?

Математическая модель — это описание реальной ситуации с помощью математического языка (формул, уравнений, неравенств, функций). Составление такой модели называется математическим моделированием и обычно включает в себя несколько последовательных шагов.

Этапы построения математической модели

Анализ условия задачи

На этом этапе нужно внимательно изучить текст задачи. Необходимо определить, какие данные известны (константы), какие величины нужно найти (переменные), и какова основная цель: найти конкретное значение, доказать утверждение, найти оптимальное решение (максимум или минимум).

Введение переменных

Ключевые неизвестные величины, которые требуется найти, обозначаются символами (например, $x, y, z, t$). Важно четко описать, что означает каждая переменная и в каких единицах она измеряется (например, "пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля").

Формализация связей и ограничений

Это главный этап, на котором словесное описание задачи переводится на язык математики.

• Связи, выраженные равенством, становятся уравнениями.
• Условия типа "не больше", "не меньше" или другие рамки записываются в виде неравенств.
• Зависимость одной величины от другой можно представить в виде функции.
• Совокупность нескольких условий образует систему уравнений или неравенств.

Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо указать все возможные ограничения на значения введенных переменных. Они могут вытекать как из математических правил (например, знаменатель дроби не может быть равен нулю), так и из физического смысла величин (например, скорость, расстояние, время не могут быть отрицательными: $v \ge 0$, $S \ge 0$, $t \ge 0$).

Пример

Задача: Прямоугольный участок земли площадью 800 м² нужно огородить забором. Какими должны быть длина и ширина участка, чтобы общая длина забора была минимальной?

Применим описанные выше этапы для составления модели.

Анализ условия

Известно: форма участка — прямоугольник, его площадь $S = 800$ м². Требуется найти: длину и ширину. Цель: минимизировать длину забора, то есть периметр участка.

Введение переменных

Пусть $a$ — длина участка в метрах, а $b$ — его ширина в метрах.

Формализация связей

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Согласно условию, $S = 800$, следовательно, мы получаем первое уравнение (уравнение связи):

$a \cdot b = 800$.

Длина забора — это периметр прямоугольника: $P = 2(a + b)$. Эту величину нам нужно сделать минимальной. Это наша целевая функция.

Чтобы найти минимум функции двух переменных при наличии связи, выразим одну переменную через другую. Из уравнения связи получаем: $b = \frac{800}{a}$.

Теперь подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию одной переменной:

$P(a) = 2(a + \frac{800}{a})$.

Определение ограничений

Поскольку $a$ и $b$ — это геометрические размеры (длина и ширина), они должны быть положительными числами: $a > 0$ и $b > 0$.

В итоге мы получили готовую математическую модель: необходимо найти такое значение $a > 0$, при котором функция $P(a) = 2(a + \frac{800}{a})$ принимает свое минимальное значение.

Дальнейший шаг — решение этой задачи (исследование модели). Для этого найдем производную функции $P(a)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

$P'(a) = (2a + \frac{1600}{a})' = 2 - \frac{1600}{a^2}$.

Найдем критические точки: $P'(a) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{1600}{a^2} = 0 \Rightarrow 2a^2 = 1600 \Rightarrow a^2 = 800$.

Так как $a > 0$, получаем $a = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ м.

Можно убедиться, что это точка минимума (например, с помощью второй производной).

Теперь найдем соответствующее значение ширины: $b = \frac{800}{a} = \frac{800}{20\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ м.

Таким образом, минимальная длина забора будет у участка квадратной формы.

Ответ: Математическая модель данной задачи заключается в нахождении минимума функции $P(a) = 2(a + \frac{800}{a})$ при условии $a > 0$. Решение модели показывает, что для минимизации длины забора участок должен быть квадратом со стороной $20\sqrt{2}$ метров.