Номер 35.26, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Подготовьте сообщение

35.26. Некоторые формулы сокращенного умножения были известны еще 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Подготовьте сообщение о том, как изображали эти формулы в "Началах" Евклида.

В знаменитом труде Евклида "Начала", написанном около 300 г. до н.э., алгебраические концепции, включая формулы сокращенного умножения, были представлены в виде геометрических утверждений. Древнегреческие математики не использовали символьную алгебру, как мы сегодня. Вместо этого они оперировали с величинами как с длинами отрезков, а с произведениями — как с площадями и объемами. Вся вторая книга "Начал" посвящена так называемой "геометрической алгебре", где доказываются тождества, которые мы сейчас записываем с помощью формул.

Вот как некоторые из этих формул изображались и доказывались в "Началах" Евклида:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Это тождество соответствует Предложению 4 из Книги II "Начал".

Его формулировка звучит так: "Если прямая линия рассечена как-либо, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками".

Геометрическое доказательство очень наглядно. Возьмем отрезок, разделенный на две части, которые мы назовем $a$ и $b$. Длина всего отрезка будет $a+b$. Построим на этом отрезке квадрат. Его площадь будет равна $(a+b)^2$.

Если через точку, делящую отрезок на части $a$ и $b$, провести линии, параллельные сторонам большого квадрата, то он разобьется на четыре части:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $ab$.

Суммируя площади этих четырех фигур, мы видим, что общая площадь большого квадрата равна $a^2 + b^2 + 2ab$. Таким образом, равенство $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ доказывается как равенство площадей.

Ответ: Формула квадрата суммы изображалась в виде большого квадрата со стороной $(a+b)$, который был разделен на квадрат со стороной $a$, квадрат со стороной $b$ и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$.

Разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Это тождество выводится из Предложения 5 Книги II "Начал".

Формулировка Евклида такова: "Если прямая линия рассечена на равные и неравные отрезки, то прямоугольник, заключенный между неравными отрезками всей прямой, вместе с квадратом на отрезке между точками сечения равен квадрату на половине прямой".

Давайте переведем это на язык алгебры. Пусть у нас есть отрезок, который мы разделили пополам (длина половины равна $a$) и еще в одной точке, отстоящей от середины на расстояние $b$. Тогда "неравные отрезки" будут иметь длины $a+b$ и $a-b$. Утверждение Евклида гласит, что площадь прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ плюс площадь квадрата со стороной $b$ ("квадрат на отрезке между точками сечения") равна площади квадрата со стороной $a$ ("квадрат на половине прямой").

В виде формулы это выглядит так: $(a+b)(a-b) + b^2 = a^2$.

Перенеся $b^2$ в правую часть, мы получаем современную формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Геометрически это можно представить, если из квадрата со стороной $a$ вырезать в углу квадрат со стороной $b$. Оставшаяся фигура в форме буквы "Г" (называемая гномоном) имеет площадь $a^2 - b^2$. Эту фигуру можно разрезать и сложить в виде прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$, что и доказывает тождество.

Ответ: Формула разности квадратов геометрически доказывалась через равенство площадей: площадь фигуры "гномон", полученной вырезанием из квадрата со стороной $a$ квадрата со стороной $b$, равна площади прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$.

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Эта формула соответствует Предложению 7 Книги II "Начал".

Формулировка Евклида: "Если прямая линия рассечена как-либо, то квадрат на всей прямой и квадрат на одном из отрезков, взятые вместе, равны дважды взятому прямоугольнику, заключенному между всей прямой и названным отрезком, вместе с квадратом на оставшемся отрезке".

Пусть "вся прямая" — это отрезок длиной $a$, а "один из отрезков" — это $b$. Тогда "оставшийся отрезок" равен $a-b$. Утверждение Евклида в алгебраической записи выглядит так: $a^2 + b^2 = 2 \cdot a \cdot b + (a-b)^2$.

Если в этом равенстве перенести $2ab$ в левую часть, мы получим знакомую нам формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Геометрическая иллюстрация этого предложения несколько сложнее предыдущих. Можно рассмотреть квадрат со стороной $a$. Его площадь $a^2$. Эта площадь может быть представлена как сумма площади квадрата со стороной $(a-b)$ и двух прямоугольников со сторонами $b$ и $a$, из которых вычтена площадь их пересечения (квадрат со стороной $b$), так как она была учтена дважды. То есть, $a^2 = (a-b)^2 + 2ab - b^2$. Это тождество эквивалентно утверждению Евклида.

Ответ: Формула квадрата разности выводилась из геометрического соотношения площадей, которое в переводе на современный язык утверждает, что сумма площадей квадратов со сторонами $a$ и $b$ равна сумме площади квадрата со стороной $(a-b)$ и площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$.