Номер 35.27, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.27. Докажите, что разность между разностью кубов двух нечетных чисел и кубом их разности кратна 6.

Пусть $a$ и $b$ — два произвольных нечетных числа. Нам нужно доказать, что разность между разностью их кубов и кубом их разности кратна 6. Запишем это в виде математического выражения: $(a^3 - b^3) - (a - b)^3$.

Для начала, упростим это выражение. Воспользуемся формулой куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

$(a^3 - b^3) - (a - b)^3 = (a^3 - b^3) - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 = 3a^2b - 3ab^2$

Вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3ab(a - b)$

Теперь задача сводится к доказательству того, что выражение $3ab(a - b)$ кратно 6 для любых нечетных $a$ и $b$. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

1. Делимость на 3: Выражение $3ab(a - b)$ содержит множитель 3, следовательно, оно всегда делится на 3 для любых целых $a$ и $b$.

2. Делимость на 2: Рассмотрим множители в выражении $3ab(a - b)$. По условию, $a$ и $b$ являются нечетными числами. Разность двух нечетных чисел всегда является четным числом. Чтобы это показать, представим нечетные числа в общем виде: $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые числа. Тогда их разность равна:

$a - b = (2k+1) - (2m+1) = 2k - 2m = 2(k-m)$.

Поскольку $k-m$ — целое число, то разность $a-b$ всегда является четным числом, то есть делится на 2.

Так как один из множителей в произведении $3ab(a-b)$, а именно $(a-b)$, является четным, то и все произведение делится на 2.

Поскольку мы доказали, что выражение $3ab(a-b)$ делится и на 3, и на 2, а числа 2 и 3 взаимно простые, то оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение было преобразовано к виду $3ab(a-b)$, которое всегда кратно 6, если $a$ и $b$ — нечетные числа.