Вопрос критерии успеха, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств?

Решение текстовых задач с помощью уравнений и неравенств — это процесс перевода условий задачи с обычного языка на математический. Этот процесс можно разбить на несколько последовательных этапов.

Общий алгоритм решения

1. Внимательно изучить условие. Необходимо понять, о каких величинах идет речь, какие значения известны, а какие требуется найти. Важно выявить все связи и зависимости между величинами.

2. Ввести переменные. Одну из искомых величин (или удобную для расчетов вспомогательную величину) обозначают буквой, например, $x$. Если в задаче несколько неизвестных, их стараются выразить через одну и ту же переменную. Иногда удобнее ввести несколько переменных и составить систему уравнений.

3. Составить математическую модель. Используя зависимости между величинами, описанные в условии, составляют уравнение или неравенство (или их систему). На этом этапе происходит формализация задачи. Слова "равно", "составляет", "такое же" обычно соответствуют знаку $=$. Слова "больше", "превышает" — знаку $>$; "меньше" — знаку $<$; "не более", "максимум" — знаку $\le$; "не менее", "минимум" — знаку $\ge$.

4. Решить полученное уравнение или неравенство. На этом этапе применяются известные алгебраические методы для нахождения корней уравнения или решения неравенства.

5. Проанализировать результат. Найденное значение переменной нужно проверить на соответствие условию задачи. Например, скорость, масса или длина не могут быть отрицательными, а количество людей должно быть целым числом. Если решение не удовлетворяет здравому смыслу или условиям, его отбрасывают.

6. Сформулировать ответ. Дать ясный и полный ответ на вопрос, поставленный в задаче.

Пример 1: Задача на составление уравнения

Условие: Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля, если они встретились через 3 часа.

Решение:

1. Анализ условия. Известно общее расстояние ($S=450$ км), время до встречи ($t=3$ ч) и разница в скоростях. Искать нужно скорости обоих автомобилей.

2. Введение переменной. Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость первого автомобиля равна $(x + 10)$ км/ч.

3. Составление уравнения. За 3 часа первый автомобиль проедет расстояние $S_1 = 3 \cdot (x + 10)$ км. Второй автомобиль за то же время проедет расстояние $S_2 = 3 \cdot x$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между городами: $S_1 + S_2 = S$.

Получаем уравнение: $3(x + 10) + 3x = 450$.

4. Решение уравнения.

$3x + 30 + 3x = 450$

$6x + 30 = 450$

$6x = 450 - 30$

$6x = 420$

$x = 420 / 6$

$x = 70$

5. Анализ результата. Мы нашли, что $x=70$. Это скорость второго автомобиля (70 км/ч). Скорость является положительной величиной, что соответствует смыслу задачи. Скорость первого автомобиля будет $x + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч. Проверим: $3 \cdot 80 + 3 \cdot 70 = 240 + 210 = 450$ км. Все верно.

6. Запись ответа. Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, второго — 70 км/ч.

Пример 2: Задача на составление неравенства

Условие: Турист хочет купить 5 одинаковых магнитов и несколько открыток. Магнит стоит 80 рублей, а открытка — 50 рублей. Какое наибольшее количество открыток может купить турист, если на всю покупку он планирует потратить не более 700 рублей?

Решение:

1. Анализ условия. Известна стоимость магнита (80 руб.), стоимость открытки (50 руб.), количество магнитов (5 шт.) и максимальная сумма денег (700 руб.). Искать нужно наибольшее возможное количество открыток.

2. Введение переменной. Пусть $n$ — количество открыток, которое хочет купить турист.

3. Составление неравенства. Стоимость 5 магнитов составляет $5 \cdot 80 = 400$ рублей. Стоимость $n$ открыток составляет $50 \cdot n$ рублей. Общая стоимость покупки равна $400 + 50n$. По условию, эта сумма должна быть "не более" 700 рублей, что означает "меньше или равна" 700.

Получаем неравенство: $400 + 50n \le 700$.

4. Решение неравенства.

$50n \le 700 - 400$

$50n \le 300$

$n \le 300 / 50$

$n \le 6$

5. Анализ результата. Мы получили, что $n \le 6$. Поскольку $n$ — это количество открыток, оно должно быть целым и неотрицательным числом. Таким образом, турист может купить 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 открыток. Вопрос задачи — "какое наибольшее количество", поэтому из всех возможных вариантов нам нужен самый большой.

6. Запись ответа. Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $n \le 6$, равно 6.

Ответ: Турист может купить не более 6 открыток.