Вопросы для закрепления, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что представляет собой "математическая модель задачи"?

2. Что означает "решить задачу алгебраическим способом", "арифметическим способом"?

3. Как можно проверить, правильно ли решена задача?

1. Что представляет собой “математическая модель задачи”?

Математическая модель задачи — это перевод условия задачи с обычного языка на язык математики. Это может быть уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств, функция или другая математическая конструкция, которая описывает связи между известными и неизвестными величинами в задаче.

Процесс создания математической модели обычно включает три основных этапа:

1. Выделение неизвестных величин. Это величины, которые требуется найти. Их обозначают переменными, например, $x$, $y$, $z$.

2. Формализация связей. Условия и зависимости между величинами, описанные в задаче словами, переводятся в математические соотношения: уравнения, неравенства и т.д. Для этого используются известные и неизвестные величины.

3. Построение итоговой модели. Все полученные математические соотношения объединяются в единую систему, которая и является математической моделью задачи.

Например, для задачи: “В корзине было несколько яблок. После того как в нее добавили 5 яблок, их стало 12. Сколько яблок было в корзине изначально?” математическая модель будет выглядеть так:

1. Неизвестная величина — начальное количество яблок. Обозначим ее через $x$.

2. Связь: к начальному количеству ($x$) прибавили 5, и получилось 12.

3. Математическая модель — уравнение: $x + 5 = 12$.

Ответ: Математическая модель задачи — это представление условий и связей из текстовой задачи в виде математических выражений, таких как уравнения, неравенства или их системы, с использованием переменных для обозначения неизвестных величин.

2. Что означает “решить задачу алгебраическим способом”, “арифметическим способом”?

Это два разных подхода к решению одной и той же задачи, чаще всего текстовой.

Решить задачу алгебраическим способом — значит:

1. Ввести одну или несколько переменных для обозначения неизвестных величин.

2. Составить математическую модель — как правило, уравнение или систему уравнений, связывающих эти переменные с данными из условия задачи.

3. Решить полученное уравнение (или систему) и найти значения переменных.

4. Интерпретировать найденные значения переменных как ответ на вопрос задачи.

Пример (для задачи выше): Пусть $x$ — начальное количество яблок. Тогда $x + 5 = 12$. Решая уравнение, получаем $x = 12 - 5$, следовательно, $x = 7$. В корзине было 7 яблок.

Решить задачу арифметическим способом — значит найти ответ на вопрос задачи, выполняя по порядку арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами, данными в условии. Этот способ не предполагает введения переменных и составления уравнений. Решение обычно оформляется "по действиям", где каждое действие сопровождается пояснением.

Пример (для той же задачи): Чтобы найти, сколько яблок было вначале, нужно из конечного количества яблок (12) вычесть количество добавленных яблок (5).

1) $12 - 5 = 7$ (яблок) — было в корзине изначально.

Ответ: Алгебраический способ предполагает решение задачи через составление и решение уравнений с переменными. Арифметический способ предполагает нахождение ответа путем последовательного выполнения арифметических действий над известными числами без введения переменных.

3. Как можно проверить, правильно ли решена задача?

Проверка правильности решения задачи — это ключевой этап, который помогает убедиться в отсутствии ошибок. Самый надежный способ проверки — подставить полученный ответ обратно в исходное условие текстовой задачи, а не в составленное вами уравнение.

Алгоритм проверки выглядит так:

1. Внимательно перечитать текст задачи.

2. Взять полученный ответ (или ответы) и мысленно или на бумаге "прожить" с ним всю ситуацию, описанную в задаче.

3. Проверить, выполняются ли все условия и соотношения, указанные в тексте. Если все сходится и не возникает никаких противоречий, то задача, скорее всего, решена верно.

Например, мы решили задачу и получили, что в корзине изначально было 7 яблок.

Проверка: Согласно условию, в корзине было какое-то количество яблок. Возьмем наш ответ — 7 яблок. Далее, в корзину добавили 5 яблок. Посчитаем, сколько их станет: $7 + 5 = 12$ яблок. В условии сказано, что их и стало 12. Так как наш результат совпал с условием, решение верное.

Также полезно выполнить "проверку на адекватность": соответствует ли ответ здравому смыслу? Например, количество людей должно быть целым и неотрицательным числом, скорость не может быть отрицательной и т.д. Если ответ нереалистичен (например, возраст человека 200 лет), это явный признак ошибки либо в решении, либо в составлении модели.

Ответ: Чтобы проверить, правильно ли решена задача, нужно подставить полученный результат в исходный текст задачи и убедиться, что все описанные в нем условия выполняются и не возникает логических противоречий.