Номер 35.25, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.24-35.25):

35.25.

1) $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7 t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5 = -3a^7 t^{10};$

2) $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4 b^9 + x^8) - 3x^8 b^9 = 3x^4 b^{18}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) + (t^5 - a^7)^3 - 3a^{14}t^5$.

Первое слагаемое $(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10})$ является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$. Применим ее, положив $x=a^7$ и $y=t^5$:

$(a^7 - t^5)(a^{14} + a^7t^5 + t^{10}) = (a^7)^3 - (t^5)^3 = a^{21} - t^{15}$.

Второе слагаемое $(t^5 - a^7)^3$ раскроем по формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$, где $x=t^5$ и $y=a^7$:

$(t^5 - a^7)^3 = (t^5)^3 - 3(t^5)^2(a^7) + 3(t^5)(a^7)^2 - (a^7)^3 = t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21}$.

Подставим полученные выражения в левую часть и выполним упрощение:

$(a^{21} - t^{15}) + (t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21}) - 3a^{14}t^5 = a^{21} - t^{15} + t^{15} - 3a^7t^{10} + 3a^{14}t^5 - a^{21} - 3a^{14}t^5$.

После приведения подобных слагаемых $(a^{21} \text{ и } -a^{21}, -t^{15} \text{ и } t^{15}, 3a^{14}t^5 \text{ и } -3a^{14}t^5)$ остается:

$-3a^7t^{10}$.

Левая часть тождества $-3a^7t^{10}$ равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $(x^4 + b^9)^3 - (b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8) - 3x^8b^9$.

Первое слагаемое $(x^4 + b^9)^3$ раскроем по формуле куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a=x^4$ и $b=b^9$:

$(x^4 + b^9)^3 = (x^4)^3 + 3(x^4)^2(b^9) + 3(x^4)(b^9)^2 + (b^9)^3 = x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}$.

Выражение $(b^9 + x^4)(b^{18} - x^4b^9 + x^8)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=b^9$ и $b=x^4$:

$(b^9 + x^4)((b^9)^2 - (b^9)(x^4) + (x^4)^2) = (b^9)^3 + (x^4)^3 = b^{27} + x^{12}$.

Подставим полученные выражения в левую часть и выполним упрощение:

$(x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27}) - (b^{27} + x^{12}) - 3x^8b^9 = x^{12} + 3x^8b^9 + 3x^4b^{18} + b^{27} - b^{27} - x^{12} - 3x^8b^9$.

После приведения подобных слагаемых $(x^{12} \text{ и } -x^{12}, b^{27} \text{ и } -b^{27}, 3x^8b^9 \text{ и } -3x^8b^9)$ остается:

$3x^4b^{18}$.

Левая часть тождества $3x^4b^{18}$ равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.