Номер 35.20, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.20-35.21):

35.20.

1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x-5);$

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x(49x - 8);$

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x-7)^2 - 3x;$

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x+3).$

1) $(9x - 7)^2 - 10 \le (9x + 3)(9x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой части перемножим многочлены.

$(81x^2 - 2 \cdot 9x \cdot 7 + 49) - 10 \le 81x^2 - 45x + 27x - 15$

$81x^2 - 126x + 49 - 10 \le 81x^2 - 18x - 15$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$81x^2 - 126x + 39 \le 81x^2 - 18x - 15$

Сократим $81x^2$ в обеих частях. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую.

$39 + 15 \le -18x + 126x$

$54 \le 108x$

Разделим обе части на 108 (знак неравенства не меняется):

$\frac{54}{108} \le x$

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) $(3 + 7x)^2 - x \le -26 + x(49x - 8)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(9 + 2 \cdot 3 \cdot 7x + 49x^2) - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

$9 + 42x + 49x^2 - x \le -26 + 49x^2 - 8x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$49x^2 + 41x + 9 \le 49x^2 - 8x - 26$

Сократим $49x^2$ в обеих частях. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую.

$41x + 8x \le -26 - 9$

$49x \le -35$

Разделим обе части на 49:

$x \le -\frac{35}{49}$

Сократим дробь на 7:

$x \le -\frac{5}{7}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}]$.

3) $(11 + 25x)x + 7 < (5x - 7)^2 - 3x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$11x + 25x^2 + 7 < (25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot 7 + 49) - 3x$

$11x + 25x^2 + 7 < 25x^2 - 70x + 49 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$25x^2 + 11x + 7 < 25x^2 - 73x + 49$

Сократим $25x^2$ в обеих частях. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую.

$11x + 73x < 49 - 7$

$84x < 42$

Разделим обе части на 84:

$x < \frac{42}{84}$

$x < \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2})$.

4) $4 + (6 - 11x)^2 > 25x + x(121x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$4 + (36 - 2 \cdot 6 \cdot 11x + 121x^2) > 25x + 121x^2 + 3x$

$4 + 36 - 132x + 121x^2 > 25x + 121x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$121x^2 - 132x + 40 > 121x^2 + 28x$

Сократим $121x^2$ в обеих частях. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения оставим в левой.

$40 > 28x + 132x$

$40 > 160x$

Разделим обе части на 160:

$\frac{40}{160} > x$

$x < \frac{4}{16}$

$x < \frac{1}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4})$.