Номер 35.13, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.11–35.13):

35.13.

1) $(10+x)(100-10x + x^2) - x^3 - 500x < 0;$

2) $-x^3 + 675x - (15-x)(225 + 15x + x^2) > 0;$

3) $(169 + 13x + x^2)(x-13) - x^3 - 2262x \le 0;$

4) $1331x - x^2 + (11+x)(x^2 - 11x + 121) \ge 0.$

1) Рассмотрим неравенство $(10 + x)(100 - 10x + x^2) - x^3 - 500x < 0$.

Выражение в скобках $(10 + x)(100 - 10x + x^2)$ соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a=10$ и $b=x$. Следовательно, $(10 + x)(10^2 - 10x + x^2) = 10^3 + x^3 = 1000 + x^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(1000 + x^3) - x^3 - 500x < 0$

Упростим выражение, взаимно уничтожив $x^3$ и $-x^3$:

$1000 - 500x < 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$-500x < -1000$

Разделим обе части на $-500$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-1000}{-500}$

$x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $-x^3 + 675x - (15 - x)(225 + 15x + x^2) > 0$.

Выражение $(15 - x)(225 + 15x + x^2)$ соответствует формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a=15$ и $b=x$. Значит, $(15 - x)(15^2 + 15x + x^2) = 15^3 - x^3 = 3375 - x^3$.

Подставим это в неравенство:

$-x^3 + 675x - (3375 - x^3) > 0$

Раскроем скобки и упростим:

$-x^3 + 675x - 3375 + x^3 > 0$

$675x - 3375 > 0$

Решим линейное неравенство:

$675x > 3375$

$x > \frac{3375}{675}$

$x > 5$

Ответ: $(5; +\infty)$.

3) Рассмотрим неравенство $(169 + 13x + x^2)(x - 13) - x^3 - 2262x \le 0$.

Выражение $(x - 13)(x^2 + 13x + 169)$ соответствует формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a=x$ и $b=13$. Следовательно, $(x - 13)(x^2 + 13x + 13^2) = x^3 - 13^3 = x^3 - 2197$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(x^3 - 2197) - x^3 - 2262x \le 0$

Упростим выражение:

$x^3 - 2197 - x^3 - 2262x \le 0$

$-2197 - 2262x \le 0$

Решим неравенство:

$-2262x \le 2197$

Разделим обе части на $-2262$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{2197}{-2262}$

$x \ge -\frac{2197}{2262}$

Так как $2197 = 13^3 = 13 \cdot 169$ и $2262 = 13 \cdot 174$, дробь можно сократить:

$x \ge -\frac{13 \cdot 169}{13 \cdot 174} = -\frac{169}{174}$

Ответ: $[-\frac{169}{174}; +\infty)$.

4) Рассмотрим неравенство $1331x - x^3 + (11 + x)(x^2 - 11x + 121) \ge 0$.

Выражение $(11 + x)(x^2 - 11x + 121)$ соответствует формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a=x$ и $b=11$. Значит, $(x + 11)(x^2 - 11x + 11^2) = x^3 + 11^3 = x^3 + 1331$.

Подставим это в неравенство:

$1331x - x^3 + (x^3 + 1331) \ge 0$

Упростим выражение:

$1331x - x^3 + x^3 + 1331 \ge 0$

$1331x + 1331 \ge 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$1331x \ge -1331$

$x \ge \frac{-1331}{1331}$

$x \ge -1$

Ответ: $[-1; +\infty)$.