Номер 35.10, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения

35.10.

1) $5(2 + x)^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$;

2) $54x^2 - 6(x-3)^3 = 162 + 6x^3$;

3) $(x + 9)(x^2 - 9x + 81) = -7 - 4x + x^3$;

4) $x^3 - 2x - 331 = (x^2 - 11x + 121)(x+11)$.

1) Исходное уравнение: $5(2 + x)^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$5(2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3) - 5x^3 = 28x + 30x^2$

$5(8 + 12x + 6x^2 + x^3) - 5x^3 = 28x + 30x^2$

$40 + 60x + 30x^2 + 5x^3 - 5x^3 = 28x + 30x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$40 + 60x + 30x^2 = 28x + 30x^2$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$40 + 60x + 30x^2 - 28x - 30x^2 = 0$

Упростим выражение:

$40 + 32x = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$32x = -40$

$x = -\frac{40}{32}$

$x = -\frac{5}{4} = -1.25$

Ответ: $x = -1.25$.

2) Исходное уравнение: $54x^2 - 6(x - 3)^3 = 162 + 6x^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$54x^2 - 6(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3) = 162 + 6x^3$

$54x^2 - 6(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = 162 + 6x^3$

$54x^2 - 6x^3 + 54x^2 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$108x^2 - 6x^3 - 162x + 162 = 162 + 6x^3$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$108x^2 - 6x^3 - 162x + 162 - 162 - 6x^3 = 0$

$-12x^3 + 108x^2 - 162x = 0$

Разделим обе части на $-6$ для упрощения:

$2x^3 - 18x^2 + 27x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^2 - 18x + 27) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Первый корень: $x_1 = 0$.

Второй и третий корни найдем из квадратного уравнения $2x^2 - 18x + 27 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 324 - 216 = 108$.

$\sqrt{D} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{18 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{2(9 \pm 3\sqrt{3})}{4} = \frac{9 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x_1=0$, $x_2 = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$, $x_3 = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$.

3) Исходное уравнение: $(x + 9)(x^2 - 9x + 81) = -7 - 4x + x^3$.

В левой части уравнения находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=x$ и $b=9$.

Применим эту формулу:

$x^3 + 9^3 = -7 - 4x + x^3$

$x^3 + 729 = -7 - 4x + x^3$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа - в правую:

$x^3 - x^3 + 4x = -7 - 729$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = -736$

$x = \frac{-736}{4}$

$x = -184$

Ответ: $x = -184$.

4) Исходное уравнение: $x^3 - 2x - 331 = (x^2 - 11x + 121)(x + 11)$.

В правой части уравнения находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=x$ и $b=11$.

Применим эту формулу:

$x^3 - 2x - 331 = x^3 + 11^3$

$x^3 - 2x - 331 = x^3 + 1331$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа - в правую:

$x^3 - x^3 - 2x = 1331 + 331$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x = 1662$

$x = \frac{1662}{-2}$

$x = -831$

Ответ: $x = -831$.