Номер 35.16, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.16-35.17):

35.16.

1) $(4x^3 - 1)(9x^3 + 5) - (6x^3 - 1)^2;$

2) $(x^4 - 1)^2 - (x^4 + 4)(x^4 - 6);$

3) $(x^7 - 3)(x^7 + 7) - (x^7 + 2)^2;$

4) $(x^8 + 9)(11 - x^8) - (x^8 + 1)^2.$

1) Для упрощения выражения $(4x³ - 1)(9x³ + 5) - (6x³ - 1)²$ выполним следующие действия:

Сначала раскроем скобки. Для первого произведения используем правило умножения многочленов:

$(4x³ - 1)(9x³ + 5) = 4x³ \cdot 9x³ + 4x³ \cdot 5 - 1 \cdot 9x³ - 1 \cdot 5 = 36x⁶ + 20x³ - 9x³ - 5 = 36x⁶ + 11x³ - 5$.

Для второго выражения используем формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$:

$(6x³ - 1)² = (6x³)² - 2 \cdot 6x³ \cdot 1 + 1² = 36x⁶ - 12x³ + 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(36x⁶ + 11x³ - 5) - (36x⁶ - 12x³ + 1) = 36x⁶ + 11x³ - 5 - 36x⁶ + 12x³ - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36x⁶ - 36x⁶) + (11x³ + 12x³) + (-5 - 1) = 0 + 23x³ - 6 = 23x³ - 6$.

Ответ: $23x³ - 6$.

2) Для упрощения выражения $(x⁴ - 1)² - (x⁴ + 4)(x⁴ - 6)$ выполним следующие действия:

Сначала раскроем скобки. Первое выражение раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$:

$(x⁴ - 1)² = (x⁴)² - 2 \cdot x⁴ \cdot 1 + 1² = x⁸ - 2x⁴ + 1$.

Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов:

$(x⁴ + 4)(x⁴ - 6) = x⁴ \cdot x⁴ + x⁴ \cdot (-6) + 4 \cdot x⁴ + 4 \cdot (-6) = x⁸ - 6x⁴ + 4x⁴ - 24 = x⁸ - 2x⁴ - 24$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(x⁸ - 2x⁴ + 1) - (x⁸ - 2x⁴ - 24) = x⁸ - 2x⁴ + 1 - x⁸ + 2x⁴ + 24$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x⁸ - x⁸) + (-2x⁴ + 2x⁴) + (1 + 24) = 0 + 0 + 25 = 25$.

Ответ: $25$.

3) Для упрощения выражения $(x⁷ - 3)(x⁷ + 7) - (x⁷ + 2)²$ выполним следующие действия:

Сначала раскроем скобки. Первое произведение раскроем по правилу умножения многочленов:

$(x⁷ - 3)(x⁷ + 7) = x⁷ \cdot x⁷ + x⁷ \cdot 7 - 3 \cdot x⁷ - 3 \cdot 7 = x¹⁴ + 7x⁷ - 3x⁷ - 21 = x¹⁴ + 4x⁷ - 21$.

Второе выражение раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:

$(x⁷ + 2)² = (x⁷)² + 2 \cdot x⁷ \cdot 2 + 2² = x¹⁴ + 4x⁷ + 4$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(x¹⁴ + 4x⁷ - 21) - (x¹⁴ + 4x⁷ + 4) = x¹⁴ + 4x⁷ - 21 - x¹⁴ - 4x⁷ - 4$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x¹⁴ - x¹⁴) + (4x⁷ - 4x⁷) + (-21 - 4) = 0 + 0 - 25 = -25$.

Ответ: $-25$.

4) Для упрощения выражения $(x⁸ + 9)(11 - x⁸) - (x⁸ + 1)²$ выполним следующие действия:

Сначала раскроем скобки. Первое произведение раскроем по правилу умножения многочленов:

$(x⁸ + 9)(11 - x⁸) = x⁸ \cdot 11 + x⁸ \cdot (-x⁸) + 9 \cdot 11 + 9 \cdot (-x⁸) = 11x⁸ - x¹⁶ + 99 - 9x⁸ = -x¹⁶ + 2x⁸ + 99$.

Второе выражение раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:

$(x⁸ + 1)² = (x⁸)² + 2 \cdot x⁸ \cdot 1 + 1² = x¹⁶ + 2x⁸ + 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(-x¹⁶ + 2x⁸ + 99) - (x¹⁶ + 2x⁸ + 1) = -x¹⁶ + 2x⁸ + 99 - x¹⁶ - 2x⁸ - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-x¹⁶ - x¹⁶) + (2x⁸ - 2x⁸) + (99 - 1) = -2x¹⁶ + 0 + 98 = -2x¹⁶ + 98$.

Ответ: $-2x^{16} + 98$.