Номер 35.14, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.14-35.15):

35.14.

1) $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy;$

2) $(1.5x - 2y)^2 + (2x + 1.5y)^2 = 6.25(x^2 + y^2);$

3) $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2);$

4) $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2).$

1) Докажем тождество $(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = 48xy$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 3x + 4y$ и $b = 4y - 3x$.

$(3x + 4y)^2 - (4y - 3x)^2 = ((3x + 4y) - (4y - 3x)) \cdot ((3x + 4y) + (4y - 3x))$.

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(3x + 4y - 4y + 3x) \cdot (3x + 4y + 4y - 3x)$.

Приведем подобные слагаемые в каждом множителе:

$(6x) \cdot (8y) = 48xy$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $48xy$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(1,5x - 2y)^2 + (2x + 1,5y)^2 = 6,25(x^2 + y^2)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(1,5x - 2y)^2 = (1,5x)^2 - 2 \cdot 1,5x \cdot 2y + (2y)^2 = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2$.

$(2x + 1,5y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1,5y + (1,5y)^2 = 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$.

Сложим полученные выражения:

$(2,25x^2 - 6xy + 4y^2) + (4x^2 + 6xy + 2,25y^2) = 2,25x^2 - 6xy + 4y^2 + 4x^2 + 6xy + 2,25y^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2,25x^2 + 4x^2) + (-6xy + 6xy) + (4y^2 + 2,25y^2) = 6,25x^2 + 0 + 6,25y^2 = 6,25x^2 + 6,25y^2$.

Вынесем общий множитель $6,25$ за скобки:

$6,25(x^2 + y^2)$.

Левая часть равна $6,25(x^2 + y^2)$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $(2a - 3b)^3 - (2a + 3b)^3 = -18b(4a^2 + 3b^2)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(2a - 3b)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 - (3b)^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.

$(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$.

Вычтем второе выражение из первого:

$(8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3) - (8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3) = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 - 8a^3 - 36a^2b - 54ab^2 - 27b^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(8a^3 - 8a^3) + (-36a^2b - 36a^2b) + (54ab^2 - 54ab^2) + (-27b^3 - 27b^3) = -72a^2b - 54b^3$.

Вынесем общий множитель $-18b$ за скобки: $-18b(4a^2 + 3b^2)$.

Левая часть равна $-18b(4a^2 + 3b^2)$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $(3a - 2b)^3 + (3a + 2b)^3 = 18a(3a^2 + 4b^2)$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы куба разности и куба суммы.

$(3a - 2b)^3 = (3a)^3 - 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 - (2b)^3 = 27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3$.

$(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3(3a)^2(2b) + 3(3a)(2b)^2 + (2b)^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$.

Сложим полученные выражения:

$(27a^3 - 54a^2b + 36ab^2 - 8b^3) + (27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(27a^3 + 27a^3) + (-54a^2b + 54a^2b) + (36ab^2 + 36ab^2) + (-8b^3 + 8b^3) = 54a^3 + 72ab^2$.

Вынесем общий множитель $18a$ за скобки: $18a(3a^2 + 4b^2)$.

Левая часть равна $18a(3a^2 + 4b^2)$, что совпадает с правой частью.

Ответ: тождество доказано.