Номер 35.21, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.20-35.21):

35.21.

1) $13 + x^2(x-9) \geq (x-3)^3 + 11;$

2) $26 + (2 + x)^3 < x^2(6 + x);$

3) $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x;$

4) $(4 + x)^3 - 6x \geq x^2(x + 12) + 1.$

1) $13 + x^2(x - 9) \ge (x - 3)^3 + 11$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части просто умножим $x^2$ на скобку. В правой части используем формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$13 + x^3 - 9x^2 \ge (x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3) + 11$

$13 + x^3 - 9x^2 \ge x^3 - 9x^2 + 27x - 27 + 11$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $x^3$ и $-9x^2$ есть в обеих частях неравенства, поэтому они взаимно уничтожаются.

$13 \ge 27x - 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую.

$13 + 16 \ge 27x$

$29 \ge 27x$

Разделим обе части на 27.

$x \le \frac{29}{27}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{29}{27}]$

2) $26 + (2 + x)^3 < x^2(6 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях. Слева используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$26 + (2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3) < 6x^2 + x^3$

$26 + 8 + 12x + 6x^2 + x^3 < 6x^2 + x^3$

Приведем подобные слагаемые в левой части и сократим одинаковые слагаемые в обеих частях ($x^3$ и $6x^2$).

$34 + 12x + 6x^2 + x^3 < 6x^2 + x^3$

$34 + 12x < 0$

Решим полученное линейное неравенство.

$12x < -34$

$x < -\frac{34}{12}$

Сократим дробь на 2.

$x < -\frac{17}{6}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{17}{6})$

3) $3x - x^2(15 + x) > -(x + 5)^3 - 4x$

Раскроем скобки. Слева умножим $-x^2$ на скобку. Справа применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$3x - 15x^2 - x^3 > -(x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 5 + 3 \cdot x \cdot 5^2 + 5^3) - 4x$

$3x - 15x^2 - x^3 > -(x^3 + 15x^2 + 75x + 125) - 4x$

$3x - 15x^2 - x^3 > -x^3 - 15x^2 - 75x - 125 - 4x$

Приведем подобные слагаемые в правой части.

$3x - 15x^2 - x^3 > -x^3 - 15x^2 - 79x - 125$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях ($-x^3$ и $-15x^2$).

$3x > -79x - 125$

Перенесем слагаемые с $x$ влево.

$3x + 79x > -125$

$82x > -125$

$x > -\frac{125}{82}$

Ответ: $x \in (-\frac{125}{82}; +\infty)$

4) $(4 + x)^3 - 6x \ge x^2(x + 12) + 1$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Слева используем формулу куба суммы.

$(4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x^2 + x^3) - 6x \ge x^3 + 12x^2 + 1$

$(64 + 48x + 12x^2 + x^3) - 6x \ge x^3 + 12x^2 + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$64 + 42x + 12x^2 + x^3 \ge x^3 + 12x^2 + 1$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях ($x^3$ и $12x^2$).

$64 + 42x \ge 1$

Решим полученное линейное неравенство.

$42x \ge 1 - 64$

$42x \ge -63$

$x \ge -\frac{63}{42}$

Сократим дробь на 21.

$x \ge -\frac{3}{2}$

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; +\infty)$