Номер 35.24, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (35.24-35.25):

35.24.

1) $ ((a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(-2b^8 + a^{14}) = b^{16}; $

2) $ b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12}; $

3) $ (x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4; $

4) $ 0,5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2. $

1) Для доказательства тождества $((a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7) + 63b^8)^2 - a^{14}(-2b^8 + a^{14}) = b^{16}$ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим выражение в скобках. Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для произведения $(a^7 - 8b^4)(8b^4 + a^7)$, где $x = a^7$ и $y = 8b^4$.

$(a^7 - 8b^4)(a^7 + 8b^4) = (a^7)^2 - (8b^4)^2 = a^{14} - 64b^8$.

Теперь подставим это обратно в первое слагаемое выражения:

$((a^{14} - 64b^8) + 63b^8)^2 = (a^{14} - b^8)^2$.

Раскроем квадрат разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^{14} - b^8)^2 = (a^{14})^2 - 2 \cdot a^{14} \cdot b^8 + (b^8)^2 = a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16}$.

Теперь раскроем второе слагаемое исходного выражения:

$-a^{14}(-2b^8 + a^{14}) = -a^{14} \cdot (-2b^8) - a^{14} \cdot a^{14} = 2a^{14}b^8 - a^{28}$.

Сложим полученные результаты:

$(a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16}) + (2a^{14}b^8 - a^{28}) = a^{28} - 2a^{14}b^8 + b^{16} + 2a^{14}b^8 - a^{28}$.

Приведем подобные члены:

$(a^{28} - a^{28}) + (-2a^{14}b^8 + 2a^{14}b^8) + b^{16} = 0 + 0 + b^{16} = b^{16}$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $b^{16} = b^{16}$.

2) Для доказательства тождества $b^{24} - (82c^{10} + (b^6 - 9c^5)(9c^5 + b^6))^2 + c^{20} = -2c^{10}b^{12}$ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим выражение во внутренних скобках, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = b^6$ и $y = 9c^5$:

$(b^6 - 9c^5)(b^6 + 9c^5) = (b^6)^2 - (9c^5)^2 = b^{12} - 81c^{10}$.

Подставим результат в выражение под знаком квадрата:

$(82c^{10} + (b^{12} - 81c^{10}))^2 = (82c^{10} - 81c^{10} + b^{12})^2 = (c^{10} + b^{12})^2$.

Теперь раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(c^{10} + b^{12})^2 = (c^{10})^2 + 2 \cdot c^{10} \cdot b^{12} + (b^{12})^2 = c^{20} + 2c^{10}b^{12} + b^{24}$.

Подставим это в исходное выражение:

$b^{24} - (c^{20} + 2c^{10}b^{12} + b^{24}) + c^{20}$.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$b^{24} - c^{20} - 2c^{10}b^{12} - b^{24} + c^{20} = (b^{24} - b^{24}) + (-c^{20} + c^{20}) - 2c^{10}b^{12} = -2c^{10}b^{12}$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-2c^{10}b^{12} = -2c^{10}b^{12}$.

3) Для доказательства тождества $(x^3 - 9y^4)^2 - (x^3 + 9y^4)^2 + 36x^3(y^4 - x) = -36x^4$ преобразуем его левую часть.

Рассмотрим первые два слагаемых. Это разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3 - 9y^4$ и $b = x^3 + 9y^4$.

Найдем $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (x^3 - 9y^4) - (x^3 + 9y^4) = x^3 - 9y^4 - x^3 - 9y^4 = -18y^4$.

$a + b = (x^3 - 9y^4) + (x^3 + 9y^4) = 2x^3$.

Теперь перемножим их:

$(a-b)(a+b) = (-18y^4)(2x^3) = -36x^3y^4$.

Раскроем третье слагаемое исходного выражения:

$36x^3(y^4 - x) = 36x^3y^4 - 36x^3x = 36x^3y^4 - 36x^4$.

Теперь сложим все части:

$-36x^3y^4 + 36x^3y^4 - 36x^4 = (-36x^3y^4 + 36x^3y^4) - 36x^4 = -36x^4$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-36x^4 = -36x^4$.

4) Для доказательства тождества $0,5z^4(40zt^2 - 5) - (z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2$ преобразуем его левую часть.

Раскроем первое слагаемое:

$0,5z^4(40zt^2 - 5) = 0,5 \cdot 40 \cdot z^4 \cdot z \cdot t^2 - 0,5 \cdot 5 \cdot z^4 = 20z^5t^2 - 2,5z^4$.

Теперь рассмотрим сумму второго и третьего слагаемых:

$-(z^5 + 10t^2)^2 + (10t^2 - z^5)^2 = (10t^2 - z^5)^2 - (10t^2 + z^5)^2$.

Это разность квадратов вида $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 10t^2 - z^5$ и $b = 10t^2 + z^5$.

Найдем $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (10t^2 - z^5) - (10t^2 + z^5) = 10t^2 - z^5 - 10t^2 - z^5 = -2z^5$.

$a + b = (10t^2 - z^5) + (10t^2 + z^5) = 20t^2$.

Перемножим их:

$(a-b)(a+b) = (-2z^5)(20t^2) = -40z^5t^2$.

Теперь сложим все полученные части:

$(20z^5t^2 - 2,5z^4) + (-40z^5t^2) = 20z^5t^2 - 2,5z^4 - 40z^5t^2$.

Приведем подобные члены:

$-2,5z^4 + (20z^5t^2 - 40z^5t^2) = -2,5z^4 - 20z^5t^2$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-2,5z^4 - 20z^5t^2 = -2,5z^4 - 20z^5t^2$.