Номер 35.23, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35.23. Найдите наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $(x + 9)^2 - x^2 > 15x + 97;$

2) $x^2 - (11 - x)^2 < 23x + 19;$

3) $(x - 8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x;$

4) $x^3 - (7 + x)^3 \le -21x^2 - 490.$

1) Исходное неравенство: $(x + 9)^2 - x^2 > 15x + 97$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - x^2 > 15x + 97$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 > 15x + 97$

Приведем подобные слагаемые:

$18x + 81 > 15x + 97$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$18x - 15x > 97 - 81$

$3x > 16$

Разделим обе части на 3:

$x > \frac{16}{3}$

$x > 5\frac{1}{3}$

Наименьшим целым числом, которое больше $5\frac{1}{3}$, является 6.

Ответ: 6.

2) Исходное неравенство: $x^2 - (11 - x)^2 < 23x + 19$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(x - (11-x))(x + (11-x)) < 23x + 19$

$(x - 11 + x)(x + 11 - x) < 23x + 19$

$(2x - 11) \cdot 11 < 23x + 19$

$22x - 121 < 23x + 19$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые в левую:

$-121 - 19 < 23x - 22x$

$-140 < x$

Это эквивалентно $x > -140$.

Наименьшим целым числом, которое больше -140, является -139.

Ответ: -139.

3) Исходное неравенство: $(x - 8)^3 + 24x^2 \ge x^3 + 64x$.

Раскроем скобки в левой части, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ :

$(x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 8^2 - 8^3) + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

$x^3 - 24x^2 + 192x - 512 + 24x^2 \ge x^3 + 64x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^3 + 192x - 512 \ge x^3 + 64x$

Сократим $x^3$ в обеих частях:

$192x - 512 \ge 64x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$192x - 64x \ge 512$

$128x \ge 512$

Разделим обе части на 128:

$x \ge \frac{512}{128}$

$x \ge 4$

Наименьшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 4.

Ответ: 4.

4) Исходное неравенство: $x^3 - (7 + x)^3 \le -21x^2 - 490$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ :

$x^3 - (7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot x + 3 \cdot 7 \cdot x^2 + x^3) \le -21x^2 - 490$

$x^3 - (343 + 147x + 21x^2 + x^3) \le -21x^2 - 490$

$x^3 - 343 - 147x - 21x^2 - x^3 \le -21x^2 - 490$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-21x^2 - 147x - 343 \le -21x^2 - 490$

Прибавим $21x^2$ к обеим частям:

$-147x - 343 \le -490$

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$-147x \le -490 + 343$

$-147x \le -147$

Разделим обе части на -147, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{-147}{-147}$

$x \ge 1$

Наименьшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 1.

Ответ: 1.