Номер 35.17, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (35.16-35.17):

35.17. 1) $(a^3+b^3)^3 - (a^3-b^3)^3 - 2b^9;$

2) $(1-a^3b^3)^3 - (a^3b^3-1)^3 - 2;$

3) $3a^4b^4(a^4-b^4) - (a^4-b^4)^2;$

4) $(c^2+d^2)^3 - 3c^2d^2(c^2+d^2).$

1) $(a³ + b³)³ - (a³ - b³)³ - 2b⁹$

Для упрощения этого выражения применим формулы куба суммы $(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³$ и куба разности $(x-y)³ = x³-3x²y+3xy²-y³$.

Раскроем каждую скобку в кубе, где $x=a³$ и $y=b³$:

$(a³+b³)³ = (a³)³ + 3(a³)²(b³) + 3(a³)(b³)² + (b³)³ = a⁹ + 3a⁶b³ + 3a³b⁶ + b⁹$.

$(a³-b³)³ = (a³)³ - 3(a³)²(b³) + 3(a³)(b³)² - (b³)³ = a⁹ - 3a⁶b³ + 3a³b⁶ - b⁹$.

Теперь вычтем второе разложение из первого:

$(a⁹ + 3a⁶b³ + 3a³b⁶ + b⁹) - (a⁹ - 3a⁶b³ + 3a³b⁶ - b⁹)$

$= a⁹ + 3a⁶b³ + 3a³b⁶ + b⁹ - a⁹ + 3a⁶b³ - 3a³b⁶ + b⁹$

$= (a⁹ - a⁹) + (3a⁶b³ + 3a⁶b³) + (3a³b⁶ - 3a³b⁶) + (b⁹ + b⁹) = 6a⁶b³ + 2b⁹$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(6a⁶b³ + 2b⁹) - 2b⁹ = 6a⁶b³$.

Ответ: $6a⁶b³$.

2) $(1 - a³b³)³ – (a³b³ – 1)³ – 2$

Обратим внимание, что выражение $(a³b³ - 1)$ можно представить как $-(1 - a³b³)$.

Сделаем замену $X = 1 - a³b³$. Тогда исходное выражение можно записать как:

$X³ - (-X)³ - 2 = X³ - (-1 \cdot X)³ - 2 = X³ - ((-1)³ \cdot X³) - 2 = X³ - (-X³) - 2 = X³ + X³ - 2 = 2X³ - 2$.

Теперь выполним обратную замену $X$ на $(1 - a³b³)$:

$2(1 - a³b³)³ - 2$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(x-y)³ = x³-3x²y+3xy²-y³$:

$2(1³ - 3 \cdot 1² \cdot (a³b³) + 3 \cdot 1 \cdot (a³b³)² - (a³b³)³) - 2$

$= 2(1 - 3a³b³ + 3a⁶b⁶ - a⁹b⁹) - 2$

$= 2 - 6a³b³ + 6a⁶b⁶ - 2a⁹b⁹ - 2$

$= -2a⁹b⁹ + 6a⁶b⁶ - 6a³b³$.

Ответ: $-2a⁹b⁹ + 6a⁶b⁶ - 6a³b³$.

3) $3a⁴b⁴(a⁴ - b⁴) - (a⁴ - b⁴)²$

Для упрощения данного выражения раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, если они есть.

Сначала раскроем первую часть выражения, умножив одночлен на многочлен:

$3a⁴b⁴(a⁴ - b⁴) = 3a⁴b⁴ \cdot a⁴ - 3a⁴b⁴ \cdot b⁴ = 3a⁸b⁴ - 3a⁴b⁸$.

Затем раскроем вторую часть, используя формулу квадрата разности $(x-y)² = x²-2xy+y²$:

$(a⁴ - b⁴)² = (a⁴)² - 2 \cdot a⁴ \cdot b⁴ + (b⁴)² = a⁸ - 2a⁴b⁴ + b⁸$.

Теперь объединим обе части, подставив их в исходное выражение:

$(3a⁸b⁴ - 3a⁴b⁸) - (a⁸ - 2a⁴b⁴ + b⁸)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$= 3a⁸b⁴ - 3a⁴b⁸ - a⁸ + 2a⁴b⁴ - b⁸$.

В полученном многочлене нет подобных членов, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Это и есть итоговый вид.

Ответ: $3a⁸b⁴ - 3a⁴b⁸ - a⁸ + 2a⁴b⁴ - b⁸$.

4) $(c² + d²)³ - 3c²d²(c² + d²)$

Это выражение можно упростить, используя одну из форм тождества для суммы кубов: $x³+y³ = (x+y)³ - 3xy(x+y)$.

Сделаем замену: пусть $x = c²$ и $y = d²$.

Подставив эти значения в исходное выражение, получим:

$(x+y)³ - 3xy(x+y)$.

Как видно из тождества выше, это выражение равно $x³+y³$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы вернуться к переменным $c$ и $d$:

$x³+y³ = (c²)³ + (d²)³ = c⁶ + d⁶$.

Таким образом, исходное выражение равно $c⁶ + d⁶$.

Ответ: $c⁶ + d⁶$.