Номер 35.12, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (35.11–35.13):

35.12.

1) $(y + 7)^3 - y^3 - 21y^2 \geq 0$

2) $-24y^2 + (8 - y)^3 + y^3 \leq 0$

3) $(6 - y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0$

4) $y^3 - 27y^2 - (y - 9)^3 > 0$

1) $(y + 7)^3 - y^3 - 21y^2 \ge 0$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:

$(y^3 + 3 \cdot y^2 \cdot 7 + 3 \cdot y \cdot 7^2 + 7^3) - y^3 - 21y^2 \ge 0$

$y^3 + 21y^2 + 147y + 343 - y^3 - 21y^2 \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (21y^2 - 21y^2) + 147y + 343 \ge 0$

$147y + 343 \ge 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$147y \ge -343$

$y \ge -\frac{343}{147}$

Сократим дробь, заметив, что $343 = 7^3$ и $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$:

$y \ge -\frac{7 \cdot 49}{3 \cdot 49} = -\frac{7}{3}$

Таким образом, $y \ge -2\frac{1}{3}$.

Ответ: $y \in [-\frac{7}{3}; +\infty)$.

2) $-24y^2 + (8 - y)^3 + y^3 \le 0$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$:

$-24y^2 + (8^3 - 3 \cdot 8^2 \cdot y + 3 \cdot 8 \cdot y^2 - y^3) + y^3 \le 0$

$-24y^2 + 512 - 192y + 24y^2 - y^3 + y^3 \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-24y^2 + 24y^2) + (-y^3 + y^3) - 192y + 512 \le 0$

$-192y + 512 \le 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$512 \le 192y$

$y \ge \frac{512}{192}$

Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 64:

$y \ge \frac{512 \div 64}{192 \div 64} = \frac{8}{3}$

Таким образом, $y \ge 2\frac{2}{3}$.

Ответ: $y \in [\frac{8}{3}; +\infty)$.

3) $(6 - y)^3 + y^3 - 18y^2 < 0$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$:

$(6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot y + 3 \cdot 6 \cdot y^2 - y^3) + y^3 - 18y^2 < 0$

$216 - 108y + 18y^2 - y^3 + y^3 - 18y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(18y^2 - 18y^2) + (-y^3 + y^3) - 108y + 216 < 0$

$-108y + 216 < 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$216 < 108y$

$y > \frac{216}{108}$

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

4) $y^3 - 27y^2 - (y - 9)^3 > 0$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$:

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 9 + 3 \cdot y \cdot 9^2 - 9^3) > 0$

$y^3 - 27y^2 - (y^3 - 27y^2 + 243y - 729) > 0$

$y^3 - 27y^2 - y^3 + 27y^2 - 243y + 729 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-27y^2 + 27y^2) - 243y + 729 > 0$

$-243y + 729 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$729 > 243y$

$y < \frac{729}{243}$

$y < 3$

Ответ: $y \in (-\infty; 3)$.