Номер 34.16, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.16. Решите уравнение:

1) $x^3 - (x - 3)(x^2 + 3x + 9) + 9x = -18x;$

2) $(x + 4)(16 - 4x + x^2) - x(x^2 + 8) = -192;$

3) $y(y^2 - 5) - (y - 2)(y^2 + 2y + 4) + 3y = 0;$

4) $(5 + y)(25 - 5y + y^2) - 20y - y^3 = 0.$

1) $x³ - (x - 3)(x² + 3x + 9) + 9x = -18x$

В левой части уравнения применим формулу разности кубов $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$. Выражение $(x - 3)(x² + 3x + 9)$ является разностью кубов $x³ - 3³$.

$x³ - (x³ - 3³) + 9x = -18x$

$x³ - (x³ - 27) + 9x = -18x$

Раскроем скобки:

$x³ - x³ + 27 + 9x = -18x$

Приведем подобные слагаемые:

$27 + 9x = -18x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$27 = -18x - 9x$

$27 = -27x$

Найдем $x$:

$x = \frac{27}{-27}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

2) $(x + 4)(16 - 4x + x²) - x(x² + 8) = -192$

В левой части уравнения применим формулу суммы кубов $a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)$. Выражение $(x + 4)(16 - 4x + x²)$ является суммой кубов $x³ + 4³$.

$(x³ + 4³) - x(x² + 8) = -192$

$(x³ + 64) - x(x² + 8) = -192$

Раскроем скобки:

$x³ + 64 - x³ - 8x = -192$

Приведем подобные слагаемые:

$64 - 8x = -192$

Перенесем 64 в правую часть:

$-8x = -192 - 64$

$-8x = -256$

Найдем $x$:

$x = \frac{-256}{-8}$

$x = 32$

Ответ: $32$

3) $y(y² – 5) - (y - 2)(y² + 2y + 4) + 3y = 0$

Раскроем скобки. Для выражения $(y - 2)(y² + 2y + 4)$ применим формулу разности кубов $a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)$, что дает $y³ - 2³ = y³ - 8$.

Первое произведение равно $y(y² – 5) = y³ - 5y$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(y³ - 5y) - (y³ - 8) + 3y = 0$

Раскроем скобки:

$y³ - 5y - y³ + 8 + 3y = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(y³ - y³) + (-5y + 3y) + 8 = 0$

$-2y + 8 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$-2y = -8$

$y = \frac{-8}{-2}$

$y = 4$

Ответ: $4$

4) $(5 + y)(25 – 5y + y²) - 20y - y³ = 0$

В левой части уравнения применим формулу суммы кубов $a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)$. Выражение $(y + 5)(y² - 5y + 25)$ является суммой кубов $y³ + 5³$.

$(y³ + 5³) - 20y - y³ = 0$

$(y³ + 125) - 20y - y³ = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y³ + 125 - 20y - y³ = 0$

$(y³ - y³) - 20y + 125 = 0$

$-20y + 125 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$125 = 20y$

$y = \frac{125}{20}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$y = \frac{25}{4}$

Ответ: $\frac{25}{4}$