Номер 34.12, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.12. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $m^3 - n^3 + 2n - 2m;$

2) $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2;$

3) $x^6 + y^6 + x^2 + y^2;$

4) $a^3 - b^3 + a^2 - b^2;$

5) $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4;$

6) $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4.$

1) Сгруппируем слагаемые в выражении $m^3 - n^3 + 2n - 2m$ следующим образом: $(m^3 - n^3) + (2n - 2m)$. Разложим первую группу как разность кубов, используя формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, а во второй группе вынесем общий множитель $-2$: $(m - n)(m^2 + mn + n^2) - 2(m - n)$. Теперь мы видим общий множитель $(m - n)$, который можно вынести за скобку: $(m - n)(m^2 + mn + n^2 - 2)$. Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2 - 2)$.

2) В выражении $3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2$ сгруппируем слагаемые: $(3a^3 - 3b^3) + (5a^2 - 5b^2)$. Вынесем общие числовые множители из каждой группы: $3(a^3 - b^3) + 5(a^2 - b^2)$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $3(a - b)(a^2 + ab + b^2) + 5(a - b)(a + b)$. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобку: $(a - b)[3(a^2 + ab + b^2) + 5(a + b)]$. Раскроем внутренние скобки и упростим выражение: $(a - b)(3a^2 + 3ab + 3b^2 + 5a + 5b)$. Ответ: $(a - b)(3a^2 + 3ab + 3b^2 + 5a + 5b)$.

3) В выражении $x^6 + y^6 + x^2 + y^2$ представим $x^6$ как $(x^2)^3$ и $y^6$ как $(y^2)^3$. Сгруппируем слагаемые: $((x^2)^3 + (y^2)^3) + (x^2 + y^2)$. Применим к первой группе формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = x^2$ и $B = y^2$: $(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) + (x^2 + y^2) = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) + 1 \cdot (x^2 + y^2)$. Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобку: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4 + 1)$. Ответ: $(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4 + 1)$.

4) В выражении $a^3 - b^3 + a^2 - b^2$ сгруппируем слагаемые: $(a^3 - b^3) + (a^2 - b^2)$. Применим формулу разности кубов для первой группы и формулу разности квадратов для второй: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b)(a + b)$. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобку: $(a - b)[(a^2 + ab + b^2) + (a + b)]$. Упростим выражение во второй скобке: $(a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b)$. Ответ: $(a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b)$.

5) В выражении $x^4 + xy^3 - x^3y - y^4$ перегруппируем слагаемые: $(x^4 - x^3y) + (xy^3 - y^4)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^3(x - y) + y^3(x - y)$. Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобку: $(x - y)(x^3 + y^3)$. Теперь применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ ко второму множителю: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

6) В выражении $a^4 - a^3b + ab^3 - b^4$ сгруппируем слагаемые: $(a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $a^3(a - b) + b^3(a - b)$. Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобку: $(a - b)(a^3 + b^3)$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ ко второму множителю: $(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.