Номер 34.14, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (34.13-34.14):

34.14.

1) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42;$

2) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21;$

3) $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3);$

4) $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1).$

1) Упростим выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) - 42$.

Первая часть выражения, $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Вторая часть выражения, $x(x - 3)(x + 3)$, содержит произведение $(x-3)(x+3)$, которое является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Здесь $a=x$ и $b=3$, поэтому $(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$. Тогда $x(x - 3)(x + 3) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение: $(x^3 + 8) - (x^3 - 9x) - 42$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $x^3 + 8 - x^3 + 9x - 42 = (x^3 - x^3) + 9x + (8 - 42) = 9x - 34$.

Ответ: $9x - 34$.

2) Упростим выражение $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x(x^2 - 16) + 21$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ к первому члену, где $a=x$ и $b=3$: $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

Раскроем скобки во втором члене: $-x(x^2 - 16) = -x^3 + 16x$.

Подставим все в исходное выражение: $(x^3 - 27) - x^3 + 16x + 21$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(x^3 - x^3) + 16x + (-27 + 21) = 16x - 6$.

Ответ: $16x - 6$.

3) Упростим выражение $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 23 - 4x(2x^2 + 3)$.

Первый член $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Здесь $a=2x$ и $b=1$. Таким образом, $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.

Раскроем скобки в последнем члене: $-4x(2x^2 + 3) = -4x \cdot 2x^2 - 4x \cdot 3 = -8x^3 - 12x$.

Подставим результаты в выражение: $(8x^3 - 1) - 23 - (8x^3 + 12x)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $8x^3 - 1 - 23 - 8x^3 - 12x = (8x^3 - 8x^3) - 12x + (-1 - 23) = -12x - 24$.

Ответ: $-12x - 24$.

4) Упростим выражение $16x(4x^2 - 5) + 17 - (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$.

Раскроем скобки в первом члене: $16x(4x^2 - 5) = 16x \cdot 4x^2 - 16x \cdot 5 = 64x^3 - 80x$.

Последний член, $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)$, является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, где $a=4x$ и $b=1$. Следовательно, $(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) = (4x)^3 + 1^3 = 64x^3 + 1$.

Подставим все части в исходное выражение: $(64x^3 - 80x) + 17 - (64x^3 + 1)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $64x^3 - 80x + 17 - 64x^3 - 1 = (64x^3 - 64x^3) - 80x + (17 - 1) = -80x + 16$.

Ответ: $-80x + 16$.