Номер 34.15, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.15. Упростите выражение:

1) $6(x + 1)^2 + 2(x-1)(x^2+x+1)-2(x + 1)^3;$

2) $5x(x - 3)^2-5(x-1)^3 + 15(x + 2)(x - 2);$

3) $(x + 2)^3 - x(3x + 1)^2 + (2x+1)(4x^2-2x+1).$

1)Для упрощения выражения $6(x + 1)² + 2(x - 1)(x² + x + 1) - 2(x + 1)³$ используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)²=a²+2ab+b²$ , разность кубов $(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³$ и куб суммы $(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³$ .

Раскроем каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое: $6(x + 1)² = 6(x² + 2x + 1) = 6x² + 12x + 6$ .

Второе слагаемое (разность кубов): $2(x - 1)(x² + x + 1) = 2(x³ - 1³) = 2(x³ - 1) = 2x³ - 2$ .

Третье слагаемое (куб суммы): $2(x + 1)³ = 2(x³ + 3x² \cdot 1 + 3x \cdot 1² + 1³) = 2(x³ + 3x² + 3x + 1) = 2x³ + 6x² + 6x + 2$ .

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное уравнение и раскроем скобки:

$(6x² + 12x + 6) + (2x³ - 2) - (2x³ + 6x² + 6x + 2) = 6x² + 12x + 6 + 2x³ - 2 - 2x³ - 6x² - 6x - 2$ .

Приведем подобные слагаемые:

$(2x³ - 2x³) + (6x² - 6x²) + (12x - 6x) + (6 - 2 - 2) = 0 + 0 + 6x + 2 = 6x + 2$ .

Ответ: $6x + 2$ .

2)Для упрощения выражения $5x(x - 3)² - 5(x - 1)³ + 15(x + 2)(x - 2)$ используем формулы: квадрат разности $(a-b)²=a²-2ab+b²$ , куб разности $(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³$ и разность квадратов $(a+b)(a-b)=a²-b²$ .

Раскроем каждую часть выражения:

$5x(x - 3)² = 5x(x² - 2 \cdot x \cdot 3 + 3²) = 5x(x² - 6x + 9) = 5x³ - 30x² + 45x$ .

$5(x - 1)³ = 5(x³ - 3x² \cdot 1 + 3x \cdot 1² - 1³) = 5(x³ - 3x² + 3x - 1) = 5x³ - 15x² + 15x - 5$ .

$15(x + 2)(x - 2) = 15(x² - 2²) = 15(x² - 4) = 15x² - 60$ .

Подставим полученные выражения в исходное и раскроем скобки:

$(5x³ - 30x² + 45x) - (5x³ - 15x² + 15x - 5) + (15x² - 60) = 5x³ - 30x² + 45x - 5x³ + 15x² - 15x + 5 + 15x² - 60$ .

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(5x³ - 5x³) + (-30x² + 15x² + 15x²) + (45x - 15x) + (5 - 60) = 0 + 0 + 30x - 55 = 30x - 55$ .

Ответ: $30x - 55$ .

3)Для упрощения выражения $(x + 2)³ - x(3x + 1)² + (2x + 1)(4x² - 2x + 1)$ используем формулы: куб суммы $(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³$ , квадрат суммы $(a+b)²=a²+2ab+b²$ и сумма кубов $(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³$ .

Раскроем по частям:

$(x + 2)³ = x³ + 3 \cdot x² \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8$ .

$x(3x + 1)² = x((3x)² + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1²) = x(9x² + 6x + 1) = 9x³ + 6x² + x$ .

Последний член является формулой суммы кубов для $a=2x$ и $b=1$ , так как $4x² = (2x)²$ и $2x = (2x)\cdot 1$ :

$(2x + 1)(4x² - 2x + 1) = (2x)³ + 1³ = 8x³ + 1$ .

Подставим все в исходное выражение и раскроем скобки:

$(x³ + 6x² + 12x + 8) - (9x³ + 6x² + x) + (8x³ + 1) = x³ + 6x² + 12x + 8 - 9x³ - 6x² - x + 8x³ + 1$ .

Сгруппируем и упростим:

$(x³ - 9x³ + 8x³) + (6x² - 6x²) + (12x - x) + (8 + 1) = 0 + 0 + 11x + 9 = 11x + 9$ .

Ответ: $11x + 9$ .