Номер 34.17, страница 204 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (34.17-34.18):

34.17.

1) $(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = 8y^3;$

2) $(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = 4m^2n;$

3) $x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 8.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: куб суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и куб разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2) = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) - 6yx^2 + 6y^3$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 6x^2y + 6y^3 =$

$= (x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y - 6x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3 + 6y^3) =$

$= 0 + (6x^2y - 6x^2y) + 0 + 8y^3 = 8y^3$

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части ($8y^3 = 8y^3$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества $(m + n)^3 - (m - n)^3 - 2n(m^2 + n^2) = 4m^2n$. Раскроем скобки, применяя формулы куба суммы и куба разности.

$(m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3) - (m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3) - 2nm^2 - 2n^3$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:

$m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 - m^3 + 3m^2n - 3mn^2 + n^3 - 2m^2n - 2n^3 =$

$= (m^3 - m^3) + (3m^2n + 3m^2n - 2m^2n) + (3mn^2 - 3mn^2) + (n^3 + n^3 - 2n^3) =$

$= 0 + (6m^2n - 2m^2n) + 0 + (2n^3 - 2n^3) = 4m^2n$

В результате преобразований левая часть стала равна правой ($4m^2n = 4m^2n$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $x^3 - 4 - (x + 2)^2 + x(4 + x) = x^3 - 8$, упростив его левую часть. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон умножения.

$x^3 - 4 - (x^2 + 4x + 4) + 4x + x^2$

Раскроем скобки:

$x^3 - 4 - x^2 - 4x - 4 + 4x + x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (-4x + 4x) + (-4 - 4) = x^3 - 8$

Левая часть тождества после упрощения равна правой ($x^3 - 8 = x^3 - 8$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.