Номер 34.11, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.11. Запишите в виде многочлена произведение:

1) $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$;

2) $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$;

3) $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$;

4) $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$.

1) Для преобразования произведения $(x + \frac{1}{3})(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x + x^2)$ в многочлен воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Сначала изменим порядок слагаемых во второй скобке для удобства: $(x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})$. В данном выражении $a = x$ и $b = \frac{1}{3}$. Проверим, соответствует ли второй множитель $x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$ части формулы $a^2 - ab + b^2$: $a^2 = x^2$ $ab = x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x$ $b^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ Все компоненты совпадают. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов: $x^3 + (\frac{1}{3})^3 = x^3 + \frac{1}{27}$.

Ответ: $x^3 + \frac{1}{27}$

2) Данное произведение $(n - \frac{1}{2})(n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4})$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В этом случае $a = n$ и $b = \frac{1}{2}$. Проверим, является ли второй множитель $n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}$ неполным квадратом суммы $a$ и $b$: $a^2 = n^2$ $ab = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n$ $b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ Поскольку все части совпадают, применяем формулу разности кубов: $n^3 - (\frac{1}{2})^3 = n^3 - \frac{1}{8}$.

Ответ: $n^3 - \frac{1}{8}$

3) Рассмотрим произведение $(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}ab + \frac{1}{9}b^2)$. Оно раскрывается по формуле суммы кубов $X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2)$. В нашем случае $X = \frac{1}{2}a$ и $Y = \frac{1}{3}b$. Проверим соответствие второго множителя формуле: $X^2 = (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{1}{4}a^2$ $XY = (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{1}{3}b) = \frac{1}{6}ab$ $Y^2 = (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{9}b^2$ Выражение полностью соответствует формуле. Таким образом, результатом будет сумма кубов: $(\frac{1}{2}a)^3 + (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{27}b^3$

4) Для вычисления произведения $(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)(\frac{1}{2}y + 2z)$ поменяем множители местами, чтобы привести его к стандартному виду формулы суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $(\frac{1}{2}y + 2z)(\frac{1}{4}y^2 - yz + 4z^2)$. Здесь $a = \frac{1}{2}y$ и $b = 2z$. Проверим компоненты второго множителя: $a^2 = (\frac{1}{2}y)^2 = \frac{1}{4}y^2$ $ab = (\frac{1}{2}y) \cdot (2z) = yz$ $b^2 = (2z)^2 = 4z^2$ Все условия формулы соблюдены. Применяя ее, получаем: $(\frac{1}{2}y)^3 + (2z)^3 = \frac{1}{8}y^3 + 8z^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}y^3 + 8z^3$