Номер 34.10, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.10. Разложите на множители многочлен:

1) $a^3 - 27b^3$;

2) $m^3n^3 + k^3$;

3) $x^6 - y^6$;

4) $k^6 + (pq)^6$;

5) $(a - b)^3 + b^3$;

6) $(x - 2)^3 - 27$;

7) $8a^3 + (a - b)^3$;

8) $27x^3 - y^3(x - y)^3$.

1) Для разложения многочлена $a^3 - 27b^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим выражение в виде разности кубов: $a^3 - 27b^3 = a^3 - (3b)^3$.

Здесь $x=a$ и $y=3b$.

Подставляем в формулу: $a^3 - (3b)^3 = (a - 3b)(a^2 + a \cdot 3b + (3b)^2) = (a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.

Ответ: $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)$.

2) Для разложения многочлена $m^3n^3 + k^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов: $m^3n^3 + k^3 = (mn)^3 + k^3$.

Здесь $x=mn$ и $y=k$.

Подставляем в формулу: $(mn)^3 + k^3 = (mn + k)((mn)^2 - mn \cdot k + k^2) = (mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.

Ответ: $(mn + k)(m^2n^2 - mnk + k^2)$.

3) Многочлен $x^6 - y^6$ можно разложить, представив его как разность квадратов: $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x^3$ и $b=y^3$:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Теперь применяем формулы разности кубов и суммы кубов к полученным множителям:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Собираем всё вместе: $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

4) Для разложения многочлена $k^6 + (pq)^6$ представим его как сумму кубов: $k^6 + (pq)^6 = (k^2)^3 + ((pq)^2)^3 = (k^2)^3 + (p^2q^2)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=k^2$ и $y=p^2q^2$:

$(k^2 + p^2q^2)((k^2)^2 - k^2 \cdot p^2q^2 + (p^2q^2)^2) = (k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.

Ответ: $(k^2 + p^2q^2)(k^4 - k^2p^2q^2 + p^4q^4)$.

5) Для разложения многочлена $(a - b)^3 + b^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В данном случае $x = a-b$ и $y = b$.

Подставляем в формулу: $((a - b) + b)((a - b)^2 - (a - b)b + b^2)$.

Упрощаем первый множитель: $(a - b + b) = a$.

Упрощаем второй множитель: $(a^2 - 2ab + b^2) - (ab - b^2) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2 = a^2 - 3ab + 3b^2$.

Объединяем множители: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

Ответ: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

6) Для разложения многочлена $(x - 2)^3 - 27$ представим его как разность кубов: $(x - 2)^3 - 3^3$.

Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x-2$ и $b=3$:

$((x - 2) - 3)((x - 2)^2 + (x - 2) \cdot 3 + 3^2)$.

Упрощаем первый множитель: $(x - 2 - 3) = (x - 5)$.

Упрощаем второй множитель: $(x^2 - 4x + 4) + (3x - 6) + 9 = x^2 - 4x + 3x + 4 - 6 + 9 = x^2 - x + 7$.

Объединяем множители: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.

Ответ: $(x - 5)(x^2 - x + 7)$.

7) Для разложения многочлена $8a^3 + (a - b)^3$ представим его как сумму кубов: $(2a)^3 + (a - b)^3$.

Применяем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=2a$ и $y=a-b$:

$(2a + (a - b))((2a)^2 - 2a(a - b) + (a - b)^2)$.

Упрощаем первый множитель: $(2a + a - b) = (3a - b)$.

Упрощаем второй множитель: $4a^2 - (2a^2 - 2ab) + (a^2 - 2ab + b^2) = 4a^2 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 3a^2 + b^2$.

Объединяем множители: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.

Ответ: $(3a - b)(3a^2 + b^2)$.

8) Для разложения многочлена $27x^3 - y^3(x - y)^3$ представим его как разность кубов: $(3x)^3 - (y(x - y))^3$.

Применяем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=3x$ и $b=y(x-y)$.

Первый множитель: $a - b = 3x - y(x-y) = 3x - xy + y^2$.

Второй множитель: $a^2 + ab + b^2 = (3x)^2 + 3x \cdot y(x-y) + (y(x-y))^2 = 9x^2 + 3xy(x-y) + y^2(x-y)^2$.

Раскроем скобки во втором множителе: $9x^2 + (3x^2y - 3xy^2) + y^2(x^2 - 2xy + y^2) = 9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4$.

Объединяем множители: $(3x - xy + y^2)(9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4)$.

Ответ: $(3x - xy + y^2)(9x^2 + 3x^2y - 3xy^2 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4)$.