Номер 34.3, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители (34.1-34.3):

34.3.

1) $\frac{1}{8} - b^3;$

2) $\frac{1}{27} + c^3;$

3) $\frac{1}{64} - d^3;$

4) $\frac{1}{125} + t^3;$

5) $\frac{8}{27} + z^3;$

6) $y^3 - \frac{27}{64};$

7) $k^3 + \frac{27}{125};$

8) $\frac{1}{216} - z^3.$

1) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{8}-b^3$ используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном выражении $a^3 = \frac{1}{8}$, следовательно, $a = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$. Второй член представлен как $b^3$, значит, $b$ в формуле соответствует $b$ в выражении.

Подставляем $a=\frac{1}{2}$ и $b=b$ в формулу:

$\frac{1}{8}-b^3 = (\frac{1}{2})^3 - b^3 = (\frac{1}{2} - b)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2} - b)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}b + b^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{2} - b)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}b + b^2)$.

2) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{27}+c^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В этом выражении $a^3 = \frac{1}{27}$, поэтому $a = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$. Второй член — $c^3$, значит, $b=c$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{27} + c^3 = (\frac{1}{3})^3 + c^3 = (\frac{1}{3} + c)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot c + c^2) = (\frac{1}{3} + c)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}c + c^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{3} + c)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}c + c^2)$.

3) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{64}-d^3$ применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a^3 = \frac{1}{64}$, значит $a = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$. Второй член — $d^3$, значит, $b=d$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{64} - d^3 = (\frac{1}{4})^3 - d^3 = (\frac{1}{4} - d)((\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} \cdot d + d^2) = (\frac{1}{4} - d)(\frac{1}{16} + \frac{1}{4}d + d^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{4} - d)(\frac{1}{16} + \frac{1}{4}d + d^2)$.

4) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{125}+t^3$ используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a^3 = \frac{1}{125}$, поэтому $a = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$. Второй член — $t^3$, значит, $b=t$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{125} + t^3 = (\frac{1}{5})^3 + t^3 = (\frac{1}{5} + t)((\frac{1}{5})^2 - \frac{1}{5} \cdot t + t^2) = (\frac{1}{5} + t)(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}t + t^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{5} + t)(\frac{1}{25} - \frac{1}{5}t + t^2)$.

5) Для разложения на множители выражения $\frac{8}{27}+z^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a^3 = \frac{8}{27}$, отсюда $a = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$. Второй член — $z^3$, значит, $b=z$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{8}{27} + z^3 = (\frac{2}{3})^3 + z^3 = (\frac{2}{3} + z)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot z + z^2) = (\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$.

Ответ: $(\frac{2}{3} + z)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}z + z^2)$.

6) Для разложения на множители выражения $y^3 - \frac{27}{64}$ применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a^3 = y^3$, значит, $a=y$. Второй член $b^3 = \frac{27}{64}$, отсюда $b = \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}$.

Подставляем значения в формулу:

$y^3 - \frac{27}{64} = y^3 - (\frac{3}{4})^3 = (y - \frac{3}{4})(y^2 + y \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2) = (y - \frac{3}{4})(y^2 + \frac{3}{4}y + \frac{9}{16})$.

Ответ: $(y - \frac{3}{4})(y^2 + \frac{3}{4}y + \frac{9}{16})$.

7) Для разложения на множители выражения $k^3 + \frac{27}{125}$ используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a^3 = k^3$, значит, $a=k$. Второй член $b^3 = \frac{27}{125}$, отсюда $b = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$k^3 + \frac{27}{125} = k^3 + (\frac{3}{5})^3 = (k + \frac{3}{5})(k^2 - k \cdot \frac{3}{5} + (\frac{3}{5})^2) = (k + \frac{3}{5})(k^2 - \frac{3}{5}k + \frac{9}{25})$.

Ответ: $(k + \frac{3}{5})(k^2 - \frac{3}{5}k + \frac{9}{25})$.

8) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{216} - z^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a^3 = \frac{1}{216}$, значит $a = \sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \frac{1}{6}$. Второй член — $z^3$, значит, $b=z$.

Подставляем значения в формулу:

$\frac{1}{216} - z^3 = (\frac{1}{6})^3 - z^3 = (\frac{1}{6} - z)((\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} \cdot z + z^2) = (\frac{1}{6} - z)(\frac{1}{36} + \frac{1}{6}z + z^2)$.

Ответ: $(\frac{1}{6} - z)(\frac{1}{36} + \frac{1}{6}z + z^2)$.