Задания, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Самостоятельно докажите справедливость формулы. $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Прочитайте эту формулу по аналогии с чтением формулы $a^3 + b^3$.

Самостоятельно докажите справедливость формулы $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Для доказательства этого тождества преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки. Цель — показать, что правая часть равна левой. Мы будем умножать многочлен $(a - b)$ на многочлен $(a^2 + ab + b^2)$.

Выполним умножение по правилу: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении. Слагаемые $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и слагаемые $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - 0 - 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^3 - b^3$. Это доказывает, что формула верна.

Ответ: Справедливость формулы доказана путем тождественного преобразования ее правой части: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.

Прочитайте эту формулу по аналогии с чтением формулы $a^3 + b^3$.

Формула суммы кубов, $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, читается так: "Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности". Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется "неполным квадратом разности", так как у полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ средний член имеет коэффициент 2.

Аналогично, проанализируем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

- $a^3 - b^3$ — это "разность кубов двух выражений".

- $(a - b)$ — это "разность этих выражений".

- $(a^2 + ab + b^2)$ — это "неполный квадрат их суммы". Он называется неполным, потому что полный квадрат суммы $(a+b)^2$ равен $a^2 + 2ab + b^2$.

Объединив эти словесные описания, мы получим правило чтения для формулы разности кубов.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.