Номер 34.6, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (34.5-34.6):

34.6.

1) $(a-1)(a^2+a+1)-a^2(a-8)$;

2) $(b+2)(b^2-2b+4)-b(b^2-1)$;

3) $2x^3+7(x^2-x+1)(x+1)$;

4) $y^3-(y-3)(y^2+3y+9)$.

1) $(a-1)(a^2 + a + 1) - a^2(a-8)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ для первой части выражения и распределительным свойством для второй части.

Применяем формулу разности кубов к выражению $(a-1)(a^2 + a + 1)$:

$(a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Раскрываем скобки во второй части выражения, умножая $-a^2$ на каждый член в скобках:

$-a^2(a-8) = -a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-8) = -a^3 + 8a^2$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(a^3 - 1) + (-a^3 + 8a^2) = a^3 - 1 - a^3 + 8a^2$.

Приводим подобные слагаемые ($a^3$ и $-a^3$ взаимно уничтожаются):

$8a^2 - 1$.

Ответ: $8a^2 - 1$

2) $(b+2)(b^2 - 2b + 4) - b(b^2 - 1)$

Для упрощения этого выражения применим формулу сокращённого умножения для суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$ к первой части и раскроем скобки во второй части.

Применяем формулу суммы кубов к выражению $(b+2)(b^2 - 2b + 4)$:

$(b+2)(b^2 - b \cdot 2 + 2^2) = b^3 + 2^3 = b^3 + 8$.

Раскрываем скобки во второй части выражения:

$-b(b^2 - 1) = -b \cdot b^2 - b \cdot (-1) = -b^3 + b$.

Складываем полученные выражения:

$(b^3 + 8) + (-b^3 + b) = b^3 + 8 - b^3 + b$.

Приводим подобные слагаемые ($b^3$ и $-b^3$ взаимно уничтожаются):

$b + 8$.

Ответ: $b + 8$

3) $2x^3 + 7(x^2 - x + 1)(x + 1)$

В этом выражении мы можем перегруппировать множители во второй части, чтобы применить формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Рассмотрим произведение $(x^2 - x + 1)(x + 1)$. Поменяв множители местами, получаем $(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Это формула суммы кубов: $(x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$2x^3 + 7(x^3 + 1)$.

Раскрываем скобки:

$2x^3 + 7x^3 + 7$.

Складываем подобные слагаемые:

$(2+7)x^3 + 7 = 9x^3 + 7$.

Ответ: $9x^3 + 7$

4) $y^3 - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$

Во второй части этого выражения мы видим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применяем формулу к части $(y-3)(y^2+3y+9)$:

$(y-3)(y^2+y \cdot 3+3^2) = y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Подставляем результат обратно в исходное выражение:

$y^3 - (y^3 - 27)$.

Раскрываем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$y^3 - y^3 + 27$.

Приводим подобные слагаемые ($y^3$ и $-y^3$ взаимно уничтожаются):

$27$.

Ответ: $27$