Номер 34.9, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34.9. Докажите тождество:

1) $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36) - 0.25(500x^3 - 864) = 0$;

2) $91x^3 - (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) - (3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2) = 37$.

1) Для доказательства тождества $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36) - 0.25(500x^3 - 864) = 0$ преобразуем его левую часть.

Выражение $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36)$ является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = 5x$ и $b = 6$.

Следовательно, $(5x - 6)(25x^2 + 30x + 36) = (5x)^3 - 6^3 = 125x^3 - 216$.

Теперь раскроем скобки во второй части выражения: $-0.25(500x^3 - 864)$.

$-0.25 \cdot 500x^3 - 0.25 \cdot (-864) = -125x^3 + 216$.

Подставим полученные результаты в левую часть исходного равенства:

$(125x^3 - 216) + (-125x^3 + 216) = 125x^3 - 216 - 125x^3 + 216$.

Приведем подобные члены: $(125x^3 - 125x^3) + (-216 + 216) = 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$.

2) Для доказательства тождества $91x^3 - (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) - (3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2) = 37$ преобразуем его левую часть.

Выражение $(3x - 4)(9x^2 + 12x + 16)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = 3x$ и $b = 4$.

$(3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) = (3x)^3 - 4^3 = 27x^3 - 64$.

Выражение $(3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2)$ является формулой суммы кубов $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$, где $a = 3$ и $b = 4x$.

$(3 + 4x)(9 - 12x + 16x^2) = 3^3 + (4x)^3 = 27 + 64x^3$.

Подставим полученные результаты в левую часть исходного равенства:

$91x^3 - (27x^3 - 64) - (27 + 64x^3)$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$91x^3 - 27x^3 + 64 - 27 - 64x^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(91x^3 - 27x^3 - 64x^3) + (64 - 27) = (91 - 91)x^3 + 37 = 0 \cdot x^3 + 37 = 37$.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $37 = 37$.