Номер 38.5, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.5. Упростите дробно-рациональное выражение:

1) $\frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2}$;

3) $\frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2}$;

4) $\frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2}$;

5) $\frac{a - 2b}{2b - a}$;

6) $\frac{4(a - b)^2}{2b - 2a}$;

7) $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$;

8) $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2} $ вынесем в числителе и знаменателе общий множитель за скобки. В числителе это $ x^5 $, а в знаменателе $ x^2 $.

Получим: $ \frac{x^5(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)} $.

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ (x^2 + 1) $, так как $ x^2+1 $ никогда не равно нулю. Также сократим на $ x^2 $ (при условии $ x \neq 0 $).

$ \frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3 $.

Ответ: $ x^3 $

2) Для упрощения выражения $ \frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2} $ вынесем в числителе и знаменателе общий множитель за скобки. В числителе это $ y^7 $, а в знаменателе $ y^2 $.

Получим: $ \frac{y^7(1 + y^2)}{y^2(1 + y^2)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (1 + y^2) $. Также сократим на $ y^2 $ (при условии $ y \neq 0 $).

$ \frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5 $.

Ответ: $ y^5 $

3) Для упрощения выражения $ \frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2} $ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $ a^7 $, в знаменателе $ a^2 $.

Получим: $ \frac{a^7(1 - a^3)}{a^2(a^3 - 1)} $.

Заметим, что $ 1 - a^3 = -(a^3 - 1) $. Подставим это в числитель.

$ \frac{a^7 \cdot (-(a^3 - 1))}{a^2(a^3 - 1)} = \frac{-a^7(a^3 - 1)}{a^2(a^3 - 1)} $.

Сократим дробь на $ (a^3 - 1) $ и на $ a^2 $ (при условии $ a \neq 0 $ и $ a \neq 1 $).

$ \frac{-a^7}{a^2} = -a^{7-2} = -a^5 $.

Ответ: $ -a^5 $

4) Для упрощения выражения $ \frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2} $ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $ x^4 $, в знаменателе $ x^2 $.

Получим: $ \frac{x^4(x^2 - 1)}{x^2(x + 1)} $.

В числителе используем формулу разности квадратов: $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

$ \frac{x^4(x - 1)(x + 1)}{x^2(x + 1)} $.

Сократим дробь на $ (x + 1) $ и на $ x^2 $ (при условии $ x \neq 0 $ и $ x \neq -1 $).

$ x^{4-2}(x - 1) = x^2(x - 1) $.

Ответ: $ x^2(x - 1) $

5) В выражении $ \frac{a - 2b}{2b - a} $ вынесем в знаменателе $ -1 $ за скобки.

$ 2b - a = -(a - 2b) $.

Дробь примет вид: $ \frac{a - 2b}{-(a - 2b)} $.

Сократим дробь на $ (a - 2b) $ (при условии, что $ a - 2b \neq 0 $).

$ \frac{1}{-1} = -1 $.

Ответ: $ -1 $

6) В выражении $ \frac{4(a - b)^2}{2b - 2a} $ вынесем в знаменателе общий множитель $ 2 $, а затем $ -1 $.

$ 2b - 2a = 2(b - a) = -2(a - b) $.

Дробь примет вид: $ \frac{4(a - b)^2}{-2(a - b)} $.

Сократим дробь на $ 2 $ и на $ (a - b) $ (при условии, что $ a \neq b $).

$ \frac{2(a - b)}{-1} = -2(a - b) = 2(b - a) $.

Ответ: $ 2(b - a) $

7) В выражении $ \frac{(-a - b)^2}{a + b} $ упростим числитель.

Вынесем $ -1 $ за скобку внутри квадрата: $ (-a - b)^2 = (-(a + b))^2 $.

Так как $ (-x)^2 = x^2 $, то $ (-(a + b))^2 = (a + b)^2 $.

Дробь примет вид: $ \frac{(a + b)^2}{a + b} $.

Сократим дробь на $ (a + b) $ (при условии, что $ a + b \neq 0 $).

Получим $ a + b $.

Ответ: $ a + b $

8) В выражении $ \frac{(a - b)^2}{(b - a)^2} $ упростим знаменатель.

Вынесем $ -1 $ за скобку внутри квадрата: $ (b - a)^2 = (-(a - b))^2 $.

Так как $ (-x)^2 = x^2 $, то $ (-(a - b))^2 = (a - b)^2 $.

Дробь примет вид: $ \frac{(a - b)^2}{(a - b)^2} $.

Так как числитель и знаменатель идентичны (и не равны нулю при $ a \neq b $), их отношение равно 1.

Ответ: $ 1 $