Номер 38.7, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.7. Сократите алгебраическую дробь:

1) $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)};$

2) $\frac{3a - 36}{12b - ab};$

3) $\frac{25 - a^2}{3a - 15};$

4) $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2};$

5) $\frac{5x(x - y)}{x^3 (y - x)};$

6) $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b};$

7) $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1};$

8) $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}.$

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a(x-2y)}{b(2y-x)} $, вынесем в знаменателе множитель -1 из скобки $ (2y-x) $.

$ 2y - x = -(x - 2y) $.

Тогда дробь примет вид: $ \frac{a(x-2y)}{b(-(x-2y))} = \frac{a(x-2y)}{-b(x-2y)} $.

Сократим общий множитель $ (x-2y) $ в числителе и знаменателе: $ \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} $.

Ответ: $ -\frac{a}{b} $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{3a-36}{12b-ab} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем за скобки общий множитель 3: $ 3a - 36 = 3(a-12) $.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель b: $ 12b - ab = b(12-a) $.

Получим дробь: $ \frac{3(a-12)}{b(12-a)} $.

Заметим, что $ 12-a = -(a-12) $. Подставим это в знаменатель:

$ \frac{3(a-12)}{b(-(a-12))} = \frac{3(a-12)}{-b(a-12)} $.

Сократим на $ (a-12) $: $ \frac{3}{-b} = -\frac{3}{b} $.

Ответ: $ -\frac{3}{b} $.

3) Чтобы сократить дробь $ \frac{25-a^2}{3a-15} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель — это разность квадратов: $ 25-a^2 = 5^2 - a^2 = (5-a)(5+a) $.

В знаменателе вынесем за скобки 3: $ 3a-15 = 3(a-5) $.

Получим дробь: $ \frac{(5-a)(5+a)}{3(a-5)} $.

Вынесем -1 в числителе: $ 5-a = -(a-5) $.

$ \frac{-(a-5)(5+a)}{3(a-5)} $.

Сократим на $ (a-5) $: $ \frac{-(5+a)}{3} = -\frac{a+5}{3} $.

Ответ: $ -\frac{a+5}{3} $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{8b^2-8a^2}{a^2-2ab+b^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем 8 и применим формулу разности квадратов: $ 8b^2-8a^2 = 8(b^2-a^2) = 8(b-a)(b+a) $.

Знаменатель — это квадрат разности: $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $.

Получим дробь: $ \frac{8(b-a)(b+a)}{(a-b)^2} $.

Так как $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $, дробь можно переписать как $ \frac{8(b-a)(b+a)}{(b-a)^2} $.

Сократим на $ (b-a) $: $ \frac{8(b+a)}{b-a} $. Этот ответ можно также записать как $ \frac{8(a+b)}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{8(a+b)}{b-a} $.

5) Чтобы сократить дробь $ \frac{5x(x-y)}{x^3(y-x)} $, вынесем в знаменателе -1 из скобки.

$ y-x = -(x-y) $.

Дробь примет вид: $ \frac{5x(x-y)}{x^3(-(x-y))} = \frac{5x(x-y)}{-x^3(x-y)} $.

Сократим общий множитель $ (x-y) $: $ \frac{5x}{-x^3} $.

Теперь сократим $x$: $ \frac{5}{-x^{3-1}} = \frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2} $.

Ответ: $ -\frac{5}{x^2} $.

6) Чтобы сократить дробь $ \frac{7b-14b^2}{42b^2-21b} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем $7b$: $ 7b-14b^2 = 7b(1-2b) $.

В знаменателе вынесем $21b$: $ 42b^2-21b = 21b(2b-1) $.

Получим дробь: $ \frac{7b(1-2b)}{21b(2b-1)} $.

Заметим, что $ 1-2b = -(2b-1) $.

$ \frac{7b(-(2b-1))}{21b(2b-1)} = \frac{-7b(2b-1)}{21b(2b-1)} $.

Сократим на общий множитель $ b(2b-1) $: $ \frac{-7}{21} $.

Сократим дробь: $ -\frac{1}{3} $.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $.

7) Чтобы сократить дробь $ \frac{3-3x}{x^2-2x+1} $, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем 3: $ 3-3x = 3(1-x) $.

Знаменатель является полным квадратом: $ x^2-2x+1 = (x-1)^2 $.

Получим дробь: $ \frac{3(1-x)}{(x-1)^2} $.

Так как $ 1-x = -(x-1) $, то $ \frac{3(-(x-1))}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)}{(x-1)^2} $.

Сократим на $ (x-1) $: $ \frac{-3}{x-1} $.

Ответ: $ \frac{-3}{x-1} $.

8) Чтобы сократить дробь $ \frac{(b-2)^3}{(2-b)^2} $, заметим, что $ (2-b) = -(b-2) $.

Тогда знаменатель можно переписать: $ (2-b)^2 = (-(b-2))^2 = (-1)^2(b-2)^2 = (b-2)^2 $.

Дробь примет вид: $ \frac{(b-2)^3}{(b-2)^2} $.

Используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:

$ (b-2)^{3-2} = (b-2)^1 = b-2 $.

Ответ: $ b-2 $.