Вопрос критерии успеха, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как выполнить сложение и вычитание алгебраических дробей?

Сложение и вычитание алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и для обыкновенных числовых дробей. Основной принцип заключается в приведении дробей к общему знаменателю.

1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно выполнить соответствующее действие (сложение или вычитание) с их числителями, а знаменатель оставить прежним.

В виде формулы это выглядит так: $\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$

Пример 1: Сложить дроби $\frac{2a-b}{a+b}$ и $\frac{a+4b}{a+b}$.

Решение:

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, складываем их числители:

$\frac{2a-b}{a+b} + \frac{a+4b}{a+b} = \frac{(2a-b) + (a+4b)}{a+b} = \frac{2a - b + a + 4b}{a+b} = \frac{3a+3b}{a+b}$

Далее, упростим полученное выражение, вынеся общий множитель в числителе за скобки:

$\frac{3(a+b)}{a+b} = 3$

Ответ: $3$

Пример 2: Выполнить вычитание $\frac{x^2}{x-2} - \frac{4}{x-2}$.

Решение:

Знаменатели одинаковы, поэтому вычитаем числители:

$\frac{x^2}{x-2} - \frac{4}{x-2} = \frac{x^2-4}{x-2}$

В числителе мы видим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применим ее:

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(x-2)$:

$x+2$

Ответ: $x+2$

2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если у дробей разные знаменатели, их необходимо сначала привести к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

Алгоритм действий:

1. Разложить на множители знаменатели всех дробей (если это возможно и необходимо).
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Он равен произведению всех уникальных множителей из разложений знаменателей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются.
3. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив НОЗ на знаменатель этой дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В результате все дроби будут иметь одинаковый знаменатель.
5. Выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
6. Упростить полученную дробь, если это возможно (например, сократить).

Пример 3: Найти сумму $\frac{5}{2x^2y} + \frac{3}{4xy^3}$.

Решение:

1. Знаменатели $2x^2y$ и $4xy^3$ уже представлены в виде произведения.

2. Найдем НОЗ. Для числовых коэффициентов 2 и 4 наименьшее общее кратное равно 4. Для переменных берем каждую в наибольшей степени: $x^2$ и $y^3$. Таким образом, НОЗ = $4x^2y^3$.

3. Найдем дополнительные множители:

• Для первой дроби: $\frac{4x^2y^3}{2x^2y} = 2y^2$.
• Для второй дроби: $\frac{4x^2y^3}{4xy^3} = x$.

4. Умножаем числители на их дополнительные множители:

$\frac{5 \cdot (2y^2)}{4x^2y^3} + \frac{3 \cdot x}{4x^2y^3} = \frac{10y^2}{4x^2y^3} + \frac{3x}{4x^2y^3}$

5. Складываем числители:

$\frac{10y^2 + 3x}{4x^2y^3}$

6. Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{10y^2 + 3x}{4x^2y^3}$

Пример 4: Выполнить вычитание $\frac{a+1}{a^2-ab} - \frac{1}{a}$.

Решение:

1. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2-ab = a(a-b)$. Знаменатель второй дроби $a$ уже простой.

2. Знаменатели: $a(a-b)$ и $a$. НОЗ будет $a(a-b)$.

3. Дополнительные множители:

• Для первой дроби: $\frac{a(a-b)}{a(a-b)} = 1$.
• Для второй дроби: $\frac{a(a-b)}{a} = a-b$.

4. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{a+1}{a(a-b)} - \frac{1 \cdot (a-b)}{a(a-b)} = \frac{a+1}{a(a-b)} - \frac{a-b}{a(a-b)}$

5. Выполняем вычитание числителей. Важно: второй числитель, состоящий из нескольких слагаемых, при вычитании заключается в скобки.

$\frac{(a+1) - (a-b)}{a(a-b)} = \frac{a+1-a+b}{a(a-b)} = \frac{b+1}{a(a-b)}$

6. Упростить результат больше нельзя.

Ответ: $\frac{b+1}{a(a-b)}$

Особый случай: противоположные знаменатели

Иногда знаменатели отличаются только знаком, например $a-b$ и $b-a$. В этом случае удобно использовать свойство $b-a = -(a-b)$, чтобы поменять знак перед дробью и сделать знаменатели одинаковыми.

Пример 5: Упростить $\frac{x}{x-y} + \frac{2x}{y-x}$.

Решение:

Заметим, что $y-x = -(x-y)$. Вынесем минус из знаменателя второй дроби и поставим его перед дробью:

$\frac{x}{x-y} + \frac{2x}{-(x-y)} = \frac{x}{x-y} - \frac{2x}{x-y}$

Теперь у дробей одинаковые знаменатели, и мы можем выполнить вычитание:

$\frac{x-2x}{x-y} = \frac{-x}{x-y}$

Этот ответ можно также записать в виде $\frac{x}{y-x}$, внеся минус обратно в знаменатель.

Ответ: $\frac{-x}{x-y}$