Вопросы для закрепления, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях общий знаменатель двух рациональных дробей равен: произведению знаменателей этих дробей; одному из знаменателей?

2. При каких значениях букв выполняются действия сложения и вычитания рациональных дробей?

1. Общий знаменатель двух рациональных дробей $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$ является общим кратным для их знаменателей, многочленов $B$ и $D$. Обычно используют наименьший общий знаменатель, который равен Наименьшему Общему Кратном (НОК) знаменателей.

произведению знаменателей этих дробей

Наименьший общий знаменатель двух рациональных дробей равен произведению их знаменателей в том случае, когда эти знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей, кроме констант (чисел).

Например, у дробей $\frac{7}{x+5}$ и $\frac{x}{x-2}$ знаменатели $x+5$ и $x-2$ не имеют общих множителей. Их Наибольший Общий Делитель, $НОД(x+5, x-2) = 1$. Следовательно, их наименьший общий знаменатель будет равен произведению $(x+5)(x-2)$.

Ответ: Общий знаменатель двух рациональных дробей равен произведению их знаменателей, если эти знаменатели являются взаимно простыми.

одному из знаменателей

Наименьший общий знаменатель двух рациональных дробей равен одному из знаменателей в том случае, когда один знаменатель делится нацело на другой. В этом случае общим знаменателем будет тот, который является кратным.

Например, для дробей $\frac{3}{y+4}$ и $\frac{y-1}{y^2-16}$, знаменатель второй дроби $y^2-16 = (y-4)(y+4)$ делится на знаменатель первой дроби $y+4$. Поэтому наименьший общий знаменатель этих дробей равен $y^2-16$.

Ответ: Общий знаменатель двух рациональных дробей равен одному из знаменателей, если этот знаменатель делится нацело на другой знаменатель.

2. Действия сложения и вычитания рациональных дробей могут быть выполнены только для тех значений переменных (букв), при которых эти дроби имеют смысл. Рациональная дробь $\frac{A}{B}$ имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель $B$ не равен нулю.

Следовательно, чтобы выполнить сложение или вычитание дробей, необходимо, чтобы знаменатель каждой из них не был равен нулю. Множество всех значений переменных, при которых знаменатели всех дробей в выражении не обращаются в ноль, называется Областью Допустимых Значений (ОДЗ).

Например, чтобы выполнить действие $\frac{a}{x-8} + \frac{b}{x}$, необходимо, чтобы выполнялись условия $x-8 \neq 0$ и $x \neq 0$. Отсюда $x \neq 8$ и $x \neq 0$. Значит, сложение можно выполнить при любых значениях $x$, кроме 0 и 8.

Ответ: Действия сложения и вычитания рациональных дробей выполняются при всех значениях букв, при которых знаменатели этих дробей не обращаются в ноль.