Номер 39.1, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.1. Используя тождество $ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $, представьте данную дробь в виде суммы дробей:

1) $ \frac{2a+b}{x} $;

2) $ \frac{2a^2+5a}{4y} $;

3) $ \frac{x^2+6y^2}{2xy} $;

4) $ \frac{12a^2+y^3}{6ay} $;

5) $ \frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} $;

6) $ \frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} $.

1) Используя тождество $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, разделим каждый член числителя на знаменатель $x$:

$\frac{2a+b}{x} = \frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$

В данном выражении дальнейшие упрощения невозможны.

Ответ: $\frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$.

2) Применим указанное тождество к дроби $\frac{2a^2+5a}{4y}$:

$\frac{2a^2+5a}{4y} = \frac{2a^2}{4y} + \frac{5a}{4y}$

Теперь упростим первое слагаемое, сократив числовой коэффициент (2 и 4 на 2):

$\frac{2a^2}{4y} = \frac{a^2}{2y}$

Второе слагаемое упростить нельзя. В итоге получаем:

Ответ: $\frac{a^2}{2y} + \frac{5a}{4y}$.

3) Представим дробь $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ в виде суммы двух дробей:

$\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$

Упростим каждую из полученных дробей. В первой дроби сократим на $x$:

$\frac{x^2}{2xy} = \frac{x}{2y}$

Во второй дроби сократим на $2y$:

$\frac{6y^2}{2xy} = \frac{3y}{x}$

Складываем упрощенные дроби:

Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$.

4) Разделим дробь $\frac{12a^2+y^3}{6ay}$ на два слагаемых:

$\frac{12a^2+y^3}{6ay} = \frac{12a^2}{6ay} + \frac{y^3}{6ay}$

Упростим каждую дробь. В первой дроби сократим на $6a$:

$\frac{12a^2}{6ay} = \frac{2a}{y}$

Во второй дроби сократим на $y$:

$\frac{y^3}{6ay} = \frac{y^2}{6a}$

Сумма дробей будет выглядеть так:

Ответ: $\frac{2a}{y} + \frac{y^2}{6a}$.

5) Тождество также справедливо и для разности: $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$. Применим его к дроби $\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3}$:

$\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} = \frac{2a^2}{3ay^3} - \frac{3y^3}{3ay^3}$

Упростим каждую дробь. В первой дроби сократим на $a$:

$\frac{2a^2}{3ay^3} = \frac{2a}{3y^3}$

Во второй дроби сократим на $3y^3$:

$\frac{3y^3}{3ay^3} = \frac{1}{a}$

Получаем разность:

Ответ: $\frac{2a}{3y^3} - \frac{1}{a}$.

6) Тождество можно обобщить для любого количества слагаемых в числителе. Для дроби $\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3}$ получим сумму трех дробей:

$\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} = \frac{12a^2}{8ay^3} + \frac{y^4}{8ay^3} + \frac{5y}{8ay^3}$

Теперь упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\frac{12a^2}{8ay^3} = \frac{3a}{2y^3}$ (сократили на $4a$).

Второе слагаемое: $\frac{y^4}{8ay^3} = \frac{y}{8a}$ (сократили на $y^3$).

Третье слагаемое: $\frac{5y}{8ay^3} = \frac{5}{8ay^2}$ (сократили на $y$).

Итоговая сумма дробей:

Ответ: $\frac{3a}{2y^3} + \frac{y}{8a} + \frac{5}{8ay^2}$.