Номер 39.8, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (39.8-39.9):

39.8.

1) $\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$;

2) $\frac{12 p^3 -1}{3 p^2} - \frac{1-3 p^3}{3 p^2}$;

3) $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$;

4) $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$;

5) $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$;

6) $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$;

7) $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$;

8) $\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$;

1) Чтобы упростить выражение $\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $2-x$ можно представить как $-(x-2)$.

$\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x} = \frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{-(x-2)} = \frac{12-2x}{x-2} - \frac{10-x}{x-2}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(12-2x) - (10-x)}{x-2} = \frac{12-2x-10+x}{x-2} = \frac{2-x}{x-2}$

Так как $2-x = -(x-2)$, то:

$\frac{-(x-2)}{x-2} = -1$

Ответ: $-1$

2) В выражении $\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2}$ знаменатели дробей уже одинаковы. Выполним вычитание числителей.

$\frac{(12p^3-1) - (1-3p^3)}{3p^2} = \frac{12p^3-1-1+3p^3}{3p^2} = \frac{15p^3-2}{3p^2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{15p^3-2}{3p^2}$

3) В выражении $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$ приведем дроби к общему знаменателю $2x-1$. Для этого во второй дроби вынесем знак минус из знаменателя.

$\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{-(2x-1)} = \frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(3x+5) - (7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5-7x-3}{2x-1} = \frac{-4x+2}{2x-1}$

Вынесем в числителе общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2x-1)}{2x-1} = -2$

Ответ: $-2$

4) Упростим выражение $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$. Сначала разложим знаменатели на множители.

$5x-20 = 5(x-4)$

$20-5x = 5(4-x) = -5(x-4)$

Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{5x+1}{5(x-4)} + \frac{x+17}{-5(x-4)} = \frac{5x+1}{5(x-4)} - \frac{x+17}{5(x-4)}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{(5x+1)-(x+17)}{5(x-4)} = \frac{5x+1-x-17}{5(x-4)} = \frac{4x-16}{5(x-4)}$

Вынесем в числителе 4 за скобки и сократим дробь:

$\frac{4(x-4)}{5(x-4)} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$

5) В выражении $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$ знаменатели одинаковы. Вычтем числители:

$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2-16}$

Числитель $x^2-8x+16$ является полным квадратом $(x-4)^2$. Знаменатель $x^2-16$ является разностью квадратов $(x-4)(x+4)$.

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{x+4}$

Ответ: $\frac{x-4}{x+4}$

6) Упростим $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$. Заметим, что $(8-a)^2 = (-(a-8))^2 = (a-8)^2$. Значит, знаменатели у дробей равны.

Сложим числители:

$\frac{(64-2ab) + (2ab-a^2)}{(a-8)^2} = \frac{64-2ab+2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}$

Числитель $64-a^2$ является разностью квадратов: $(8-a)(8+a)$.

$\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2}$

Так как $8-a = -(a-8)$, заменим и сократим дробь:

$\frac{-(a-8)(a+8)}{(a-8)^2} = -\frac{a+8}{a-8} = \frac{a+8}{8-a}$

Ответ: $\frac{a+8}{8-a}$

7) В выражении $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$ знаменатели одинаковы. Выполним вычитание числителей.

$\frac{x^2-4(x-1)}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$

Числитель $x^2-4x+4$ — это формула квадрата разности $(x-2)^2$. Знаменатель $x^2-4$ — это формула разности квадратов $(x-2)(x+2)$.

$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+2}$

8) Упростим $\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$. Приведем к общему знаменателю $x^2-9$. Заметим, что $9-x^2 = -(x^2-9)$.

$\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{-(x^2-9)} = \frac{x^2+6}{x^2-9} + \frac{3(2x-1)}{x^2-9}$

Сложим числители:

$\frac{x^2+6+3(2x-1)}{x^2-9} = \frac{x^2+6+6x-3}{x^2-9} = \frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как числитель не раскладывается на множители, которые можно было бы сократить со знаменателем.

Ответ: $\frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$