Номер 39.14, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.14. Докажите, что равенство верно:

1)

$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{12a - 1}{a} = -1;$

2)

$2a + 3b - \frac{a^2 + b^2}{a} - \frac{b(3a - b)}{a} = -1;$

3)

$\frac{a + b}{a} - \frac{2a - b}{b} - \frac{b^2 - 2a^2}{ab} = 2.$

1) Для того чтобы доказать или опровергнуть данное равенство, преобразуем его левую часть:

$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \frac{12a - 1}{a}$

Разделим последнюю дробь на два слагаемых:

$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \left(\frac{12a}{a} - \frac{1}{a}\right) = 12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - \left(12 - \frac{1}{a}\right)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены:

$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} - 12 + \frac{1}{a} = (12 - 12) + \left(-\frac{1}{a} + \frac{1}{a}\right) - \frac{1}{b} = 0 + 0 - \frac{1}{b} = -\frac{1}{b}$

В результате преобразований левая часть выражения равна $-\frac{1}{b}$. Исходное равенство $-\frac{1}{b} = -1$ выполняется только при условии, что $b=1$. Поскольку равенство не выполняется для всех допустимых значений $b$ (например, при $b=2$ левая часть равна $-\frac{1}{2}$, а не $-1$), оно не является тождеством.

Ответ: равенство не является тождеством, оно верно только при $b=1$.

2) Преобразуем левую часть равенства, чтобы доказать или опровергнуть его. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $a$:

$2a + 3b - \frac{a^2+b^2}{a} - \frac{b(3a-b)}{a} = \frac{2a \cdot a}{a} + \frac{3b \cdot a}{a} - \frac{a^2+b^2}{a} - \frac{b(3a-b)}{a}$

Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$\frac{2a^2 + 3ab - (a^2+b^2) - (3ab-b^2)}{a} = \frac{2a^2 + 3ab - a^2 - b^2 - 3ab + b^2}{a}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a^2 - a^2) + (3ab - 3ab) + (-b^2 + b^2)}{a} = \frac{a^2}{a}$

При $a \neq 0$ сократим дробь:

$\frac{a^2}{a} = a$

В результате преобразований левая часть выражения равна $a$. Исходное равенство $a = -1$ является верным только при $a=-1$. Поскольку равенство не выполняется для всех допустимых значений $a$, оно не является тождеством.

Ответ: равенство не является тождеством, оно верно только при $a=-1$.

3) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем все дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a+b}{a} - \frac{2a-b}{b} - \frac{b^2-2a^2}{ab} = \frac{(a+b) \cdot b}{ab} - \frac{(2a-b) \cdot a}{ab} - \frac{b^2-2a^2}{ab}$

Запишем выражение в виде одной дроби:

$\frac{b(a+b) - a(2a-b) - (b^2-2a^2)}{ab}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ab+b^2 - 2a^2+ab - b^2+2a^2}{ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(ab+ab) + (b^2-b^2) + (-2a^2+2a^2)}{ab} = \frac{2ab}{ab}$

При $a \neq 0$ и $b \neq 0$ сократим дробь:

$\frac{2ab}{ab} = 2$

В результате преобразований левая часть стала равна 2, что совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство верно.