Номер 39.15, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.15. Выполните действия:

1) $\frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)}$;

2) $\frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a}$;

3) $\frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx}$;

4) $\frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm}$;

5) $\frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6}$;

6) $\frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)}$.

1) Дано выражение: $ \frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)} $.

Для вычитания дробей их необходимо привести к общему знаменателю. Знаменатели дробей $5(a+y)$ и $3(a+y)$. Общим знаменателем для них является выражение $15(a+y)$, так как наименьшее общее кратное чисел 5 и 3 равно 15.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $15(a+y) / 5(a+y) = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби равен $15(a+y) / 3(a+y) = 5$.

Умножим числители на соответствующие дополнительные множители и выполним вычитание:

$\frac{4a \cdot 3}{15(a+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(a+y)} = \frac{12a - 10y}{15(a+y)}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$\frac{2(6a - 5y)}{15(a+y)}$

Ответ: $ \frac{2(6a - 5y)}{15(a+y)} $

2) Дано выражение: $ \frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a} $.

Сначала преобразуем знаменатели. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $7a-14 = 7(a-2)$.

Знаменатель второй дроби $2-a$ можно представить как $-(a-2)$.

Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение:

$\frac{p}{7(a-2)} + \frac{1}{-(a-2)} = \frac{p}{7(a-2)} - \frac{1}{a-2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю, который равен $7(a-2)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен 7.

$\frac{p}{7(a-2)} - \frac{1 \cdot 7}{7(a-2)} = \frac{p - 7}{7(a-2)}$

Ответ: $ \frac{p-7}{7(a-2)} $

3) Дано выражение: $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $.

Разложим на множители знаменатели каждой дроби. Для первой дроби: $ax-ay = a(x-y)$.

Для второй дроби: $by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$.

Перепишем выражение с новыми знаменателями:

$\frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $ab(x-y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $b$, для второй - $a$.

$\frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)}$

Ответ: $ \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $

4) Дано выражение: $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $bm-bn = b(m-n)$.

Знаменатель второй дроби: $cn-cm = c(n-m) = -c(m-n)$.

Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$\frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)}$

Общий знаменатель равен $bc(m-n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - $c$, для второй - $b$.

$\frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}$

Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $

5) Дано выражение: $ \frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6} $.

Разложим знаменатели на множители: $2x+4 = 2(x+2)$ и $3x+6 = 3(x+2)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{a}{2(x+2)} - \frac{a}{3(x+2)}$

Наименьший общий знаменатель для $2(x+2)$ и $3(x+2)$ равен $6(x+2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби - 3, для второй - 2.

$\frac{a \cdot 3}{6(x+2)} - \frac{a \cdot 2}{6(x+2)} = \frac{3a - 2a}{6(x+2)}$

Упростим числитель:

$\frac{a}{6(x+2)}$

Ответ: $ \frac{a}{6(x+2)} $

6) Дано выражение: $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $.

Знаменатели дробей $5(a-b)$ и $4(a-b)$. Общий множитель в знаменателях - $(a-b)$.

Наименьший общий знаменатель - это НОК(5, 4), умноженное на $(a-b)$, то есть $20(a-b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби: $4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $5$.

$\frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)}$

Дальнейшее упрощение невозможно, так как числитель не раскладывается на множители, которые могли бы сократиться со знаменателем.

Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $